Précompacité et théorème d’Ascoli
1 Introduction
Le théorème d’Ascoli est un profond résultat d’analyse fonctionnelle. Il nous servira à illustrer la puissance du formalisme topologique sur des espaces abstraits comme les espaces de fonctions. Afin d’établir sa démonstration, nous introduirons la notion d’espaces précompacts. La précompacité nous donnera un critère de compacité des espaces complets.

2 Précompacité
On considère dans cette partie un espace métrique (X,d). p ¦ ¢ £ £ £ ¤¤¥¤¢ © ¡

Définition On dit que la famille xi ; i i 1
 ¢ ©  ¢ ©

1

p d’éléments de X est un ε-réseau

de X si X=

B xi ε où B x ε désigne la boule fermée de centre x et de rayon ε.
  ¨

Définition On dit que (X,d) est précompact si ε

Proposition Si (X,d) est précompact, alors pour tout sous ensemble Y de X muni de la métrique induite (notée, par abus d’écriture, d): – (Y,d) est précompact. – (Y ,d) est précompact. Démonstration – Montrons que (Y,d) est précompact. Soit ε p 

p

/ éléments de Y. Par contre, comme pour tout xi de A, B xi ε 2 Y 0, dans chacune de ces intersections, on peut trouver un élément yi de A tel que
£  ¢ ©  

i 1
¨

B xi ε 2
 ¢ © ¦

B yi ε

La famille yi est alors un ε-réseau de Y.

1

¡

 



¢

©





¢

©



Y

B xi ε 2 . Le problème est que les xi de A ne sont pas nécessairement





¢

©

¦

¢ £ £ £ ¤¥¤¤¢

¡

de xi ; i
§

1

p des éléments xi tels que B xi ε 2 intersecte Y. On peut écrire:

i 1
¨





¢

réseau de X. En particulier, on a Y

B xi ε 2 . Nommons A la sous famille



¦

¢ £ £ £ ¥¤¥¤¢

¡

0 et soit xi ; i


§

§

0 il existe un ε-réseau de X.

1

p un ε 2-

p

i 1 p
£  ¢ © §

p
 ¢ © §

Théorème On a équivalence entre: – (X,d) est compact. – (X,d) est précompact et complet.

Démonstration – Supposons que X est compact. Soit ε 0 et soit le recouvrement ouvert de X: (B(x,ε))x X