Second degré : Résumé de cours et méthodes
1 Définitions :
DÉFINITION

On appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c (a,b et c réels avec a = 0).
Remarque : Par abus de langage, l’expression ax2 + bx + c est aussi appelée trinôme du second degré.
DÉFINITION

On appelle racine du trinôme f , tout réel qui annule f .
Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 + 3x − 5, car 2(1)2 + 3(1) − 5 = 0.
Remarque : Chercher les racines du trinôme ax2 + bx + c, revient à résoudre dans R l’équation ax2 + bx + c = 0.

2 Factorisation, racines et signe du trinôme :
DÉFINITION

On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c (a = 0), le réel ∆ = b2 − 4ac.

2-1 Si ∆ < 0 :
Racines : Pas de racines réelles.
Factorisation : Pas de factorisation dans R.
Signe : ax2 + bx + c est toujours du signe de a.

−∝

x ax²+bx+c +∝
Signe de a

y a>0 O

x

a<0

2-2 Si ∆ = 0 : b .
2a
2
2
Factorisation : Pour tout x, ax + bx + c = a(x − x1 ) .
Signe : ax2 + bx + c est toujours du signe de a et s’annule pour x = x1 .
Racines : Une racine réelle dite "double" : x1 = −

x ax²+bx+c 1S - Second degré

−∝
Signe de a

+∝

x1

Signe de a

c P.Brachet - www.xm1math.net

1

y

a>0

x1 x a<0

2-3 Si ∆ > 0 :

√
√
−b − ∆
−b + ∆
Racines : Deux racines réelles : x1 = et x2 =
2a
2a
2
Factorisation : Pour tout x, ax + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
Signe : ax2 + bx + c est du signe de a à l’extérieur des racines.
(on suppose que x1 < x2 )

−∝

x ax²+bx+c x1

Signe de a

+∝

x2
Signe de (-a)

Signe de a

y a>0 x1

x2

x1

x2 x O

a<0

3 Exemples de résolution d’équations et d’inéquations du second degré
3-1 Equations du second degré
• Résolution dans R de l’équation x2 + 2x − 3 = 0 :
(Par rapport aux formules, on a ici : a = 1, b = 2 et c = −3 ).
Calcul du discriminant : ∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4(1)(−3) = 16.
Le discriminant est strictement positif, donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en fait les solutions de l’équation :
Calcul des √ solutions : √
√
√
−b