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Algèbre de Boole

Chapitre

oerge Boole (1815-1864), mathématicien autodidacte anglais, a développé une algèbre permettant de manipuler les propositions logiques au moyen d’équations mathématiques où les énoncés VRAI et FAUX sont représentés par les valeurs 1 et 0, tandis que les opérateurs ET et OU deviennent des opérateurs algébriques de multiplication et d’addition. Le présent chapitre est consacré à cette algèbre, présentant dans un premier temps les postulats, les axiomes et les théorèmes qui en découlent. Une partie du chapitre est également consacrée à la manipulation de cette algèbre logique, suivie d’une illustration des applications possibles pour les besoins des circuits logiques. Pour ce faire, une introduction des fondements des portes logiques est présentée.

G
2.1

Notions théoriques

Dans cette section, nous allons aborder les notions théoriques de base de l’algèbre de Boole. Nous commençons par les axiomes et les postulats de l’algèbre de Boole, puis nous présenterons quelques théorèmes usuels et les démonstrations qui leur sont associées. Nous montrerons ensuite comment ces démonstrations peuvent être exprimées au moyen de tables de vérité. 2.1.1 Axiomes et postulats Une algèbre de Boole est constituée de : 1. un ensemble E, 2. deux éléments particuliers de E : 0 et 1 (correspondant respectivement à FAUX et VRAI), 3. deux opérations binaires sur E : + et · (correspondant respectivement au OU et ET logiques), 4. une opération unaire sur E : ¯ (correspondant à la négation logique). On acceptera les postulats suivant : 1. 2. 3. 4. 0·0 = 0 0·1 = 1·0 = 0 1·1 = 1 0 =1 5. 6. 7. 8. 1+1 = 1 1+0 = 0+1 = 1 0+0 = 0 1 =0

Ces postulats correspondent, à toute fin utile, aux définitions des opérations logiques sur les éléments 0 et 1 de E. On pourra noter que dans le cas des opérations binaires, ( · ) et ( + ), ces postulats correspondent aux résultats de l’arithmétique usuelle, sauf dans le cas du postulat (5) où 1+1=1.

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