Chapitre 8 CALCUL DE PRIMITIVES
8.1 D´finition e

D´finition: soit f une fonction d´finie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une e e fonction F d´rivable sur I et telle que, pour tout r´el x de I, F (x) = f (x). e e Th´or`me 1 Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I, deux e e d’entre elles diff´rant d’une constante. e Il est important de bien connaˆ les primitives de fonctions usuelles : on s’y ram`ne toujours. ıtre e La table ci-dessous ne pr´cise pas les intervalles sur lesquels on consid`re les fonctions. On e e utilisera la notation usuelle f (x) dx pour d´signer une primitive de la fonction f (x). Il faut e bien voir qu’elle cache une ambig¨it´, puisque qu’une primitive n’est d´finie qu’` une constante u e e a pr`s sur un intervalle. Syst´matiquement, quand on ´crit des ´galit´s entre primitives, on e e e e e oubliera ces “constantes d’int´gration”. Il faut se souvenir que c’est un abus de notation. e Primitives de fonctions usuelles f (x) dx f (x) α+1 x 1 x α+1 1 λx ax (a > 0, a = 1) λe 1 sin ωx ω sin ωx sh x sh x 1 Arctan x a2 + x2 Arcsin x 1 ln | tan x | cos x 2 1 tan x sin2 x 1 th x sh 2 x Argch x −Argch (−x) √ 2 + 1) = Argsh x ln(x + x ln x + x2 − 1 = √

f (x) xα (α ∈ R, α = −1) eλx cos ωx ch x 1 1 + x2 √ 1 1 − x2 1 sin x 1 = 1 + tan2 x cos2 x 1 = 1 − th 2 x ch 2 x √ 1 x2 − 1 √ 1 1 + x2

f (x) dx ln |x| 1 x ln a a −1 cos ωx ω ch x 1 Arctan x a a ln tan x + π 2 4 −1 tan x −1 th x

pour x > 1 pour x < −1

Soient a et b deux r´els d’un intervalle I, et f une fonction continue sur I. L’int´grale de a ` b e e a b de f , not´e a f (x) dx, est le r´el F (b) − F (a) o` F est une primitive quelconque de f sur I. e e u 49

8.2

Lin´arit´ e e
(λf (x) + µg(x)) dx = λ f (x) dx + µ g(x) dx.

C’est l’utilisation de

On a toujours int´rˆt a d´composer la fonction a int´grer en somme de fonctions plus simples a ee ` e ` e ` int´grer. Par exemple, e sin 2x cos 3x dx = 1 1 (sin 5x − sin x) dx = 2 2 1 1 = − cos 5x