Proba

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  • Publié le : 18 avril 2010
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Le jeu de Mastermind se joue suivant la règle suivante : un joueur doit trouver un nombre à 4 chiffres. Pour simplifier la situation, on supposera que les seuls nombres autorisés ont leurs 4 chiffresdifférents. On supposera en outre que le premier chiffre peut valoir 0. Après chaque proposition du joueur, on lui donne deux indications :
le nombre de chiffres exacts et bien placés ; le nombrede chiffres exacts et mal placés.
Si, par exemple, le nombre à trouver est 1234, et si le joueur propose 1356, on lui dit qu’il a un chiffre exact et bien placé (le 1) et un chiffre exact et malplacé (le 3). La combinaison à trouver est choisie au hasard parmi toutes les combinaisons possibles.
1. Au début du jeu, quelle est la probabilité que le nombre à trouver soit 1234 ? 1356 ? 2. Le joueurpropose 1234. On lui dit qu’il a un chiffre exact et bien placé et un chiffre exact et mal placé. Quelle est la probabilité pour que le nombre à trouver soit 1356 ? 3. Le joueur propose au second coup4356. On lui dit qu’il a trois chiffres exacts et bien placés. Quelle est maintenant la probabilité de 1356 ? Attention ! Le calcul doit tenir compte des informations apportées par les deuxpropositions du joueur.

correction
1. L'univers Ω est composé des nombres à 4 chiffres tous distincts (pouvant débuter par 0). Le nombre d'éléments de Ω revient donc à chercher le nombre d'arrangements de4 chiffres parmi les 10 chiffres. Ce nombre d'éléments est donc : Card Ω = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040 nombres possibles.
La probabilité d'obtenir 1234, comme celle d'obtenir 1356 est la même : 1 . 50402. Après avoir joué 1234, le joueur sait que l'un de ses chiffres est bien placé et un autre mal placé. Il est donc tout a fait possible que le nombre soit 1356. Pour trouver la probabilité que ce soit1356, il faut tout d'abord dénombrer tous les chiffres qui peuvent répondre à la contrainte. On sait que 1 chiffre est bien placé sur les 4 de 1234. Supposons que ce soit le 1.
Maintenant, on...
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