PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
CHAPITRE I. COMBINATOIRE ELEMENTAIRE

I.1.

Rappel des notations de la théorie des ensemble

I.1.a. Ensembles et sous-ensembles Un ensemble E est une collection d'objets appelés éléments. Si x est un élément de E on dit que x appartient à E ou que E contient x, et on note x ∈ E. Si x n’est pas un élément de E on note x ∉ E. L’ensemble E peut avoir un nombre fini ou infini d’éléments. Dans le dernier cas E peut être dénombrable (par exemple E = Z, l’ensemble des entiers) ou pas dénombrable (par exemple E = R, l’ensemble des nombres réels). L’ensemble vide, noté { }ou ∅, n’a aucun élément. L’ensemble A est un sous-ensemble (on dit aussi partie) de l’ensemble de E si chaque élément de A est un élément de E. On note : A ⊆ E. Si A ⊆ B et B ⊆ A, A et B contiennent les mêmes éléments. On le note A = B. I.1.b. Diagrammes (dits de Venn)

A
⋅x

Ε x∈A⊆E 1

I.1.c. Cardinal d’un ensemble fini Un ensemble E est fini s’il possède un nombre fini d’éléments. On appelle cardinal de E, le nombre de ces éléments qu’on note card E (ou #E ou |E|). Propriétés évidentes : 1) Si E = ∅ alors card E = 0. 2) Si A ⊆ E alors card A ≤ card E. I.1.d. Opérations booléennes Si A ⊆ E et si B ⊆ E, on définit la réunion de A et B comme l’ensemble des éléments de E qui sont éléments de A ou B : A ∪ B = {x∈E, x∈A ou x∈B }. Evidemment la réunion de A et B contient au plus tous les éléments de A et tous de B (si A et B n’ont aucun élément en commun), ce qui donne pour des ensembles finis l’inégalité: card(A ∪ B) ≤ card(A) + card(B). On définit ainsi l’intersection de A et B comme l’ensemble des éléments de E qui sont éléments de A et B : A ∩ B = {x∈E, x∈A et x∈B }. Le principe d’exclusion-inclusion nous fournit une relation pour le cardinal de A , B, A ∩ B, et A ∪ B : card(A ∪ B) + card(A ∩ B) = card(A) + card(B). On définit le complémentaire de A comme l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas des éléments de A : Ac = {x∈E, x∉A}. Evidemment on a la