Proba

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 13 (3168 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 10 mai 2010
Lire le document complet
Aperçu du document
PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
CHAPITRE I. COMBINATOIRE ELEMENTAIRE

I.1.

Rappel des notations de la théorie des ensemble

I.1.a. Ensembles et sous-ensembles Un ensemble E est une collection d'objets appelés éléments. Si x est un élément de E on dit que x appartient à E ou que E contient x, et on note x ∈ E. Si x n’est pas un élément de E on note x ∉ E. L’ensemble E peut avoir un nombrefini ou infini d’éléments. Dans le dernier cas E peut être dénombrable (par exemple E = Z, l’ensemble des entiers) ou pas dénombrable (par exemple E = R, l’ensemble des nombres réels). L’ensemble vide, noté { }ou ∅, n’a aucun élément. L’ensemble A est un sous-ensemble (on dit aussi partie) de l’ensemble de E si chaque élément de A est un élément de E. On note : A ⊆ E. Si A ⊆ B et B ⊆ A, A et Bcontiennent les mêmes éléments. On le note A = B. I.1.b. Diagrammes (dits de Venn)

A
⋅x

Ε
x∈A⊆E

1

I.1.c. Cardinal d’un ensemble fini Un ensemble E est fini s’il possède un nombre fini d’éléments. On appelle cardinal de E, le nombre de ces éléments qu’on note card E (ou #E ou |E|). Propriétés évidentes : 1) Si E = ∅ alors card E = 0. 2) Si A ⊆ E alors card A ≤ card E. I.1.d. Opérationsbooléennes Si A ⊆ E et si B ⊆ E, on définit la réunion de A et B comme l’ensemble des éléments de E qui sont éléments de A ou B : A ∪ B = {x∈E, x∈A ou x∈B }. Evidemment la réunion de A et B contient au plus tous les éléments de A et tous de B (si A et B n’ont aucun élément en commun), ce qui donne pour des ensembles finis l’inégalité: card(A ∪ B) ≤ card(A) + card(B). On définit ainsil’intersection de A et B comme l’ensemble des éléments de E qui sont éléments de A et B : A ∩ B = {x∈E, x∈A et x∈B }. Le principe d’exclusion-inclusion nous fournit une relation pour le cardinal de A , B, A ∩ B, et A ∪ B : card(A ∪ B) + card(A ∩ B) = card(A) + card(B). On définit le complémentaire de A comme l’ensemble des éléments de E qui ne sont pas des éléments de A : Ac = {x∈E, x∉A}. Evidemment on a larelation card(A) + card(Ac) = card(E).

La différence de A et B est définie comme l’ensemble des éléments de E qui sont éléments de A et qui ne sont pas éléments de B : A \ B = {x∈E, x∈A et x∉B } = A ∩ Bc. La différence symétrique de A et B est définie par : A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A).

2

I.1.e. Suites de sous-ensembles Soient A1, A2,…, Ai, Ai+1,… des sous-ensembles d’un ensemble E. On peutgénéraliser les notions de réunion et d’intersection en définissant : •

∪A
i =1



i

comme le sous-ensemble de E constitué des éléments de E qui

appartiennent à au moins un des sous-ensembles Ai •

∩ Ai
i =1



comme le sous-ensemble de E constitué des éléments de E qui

appartiennent à tous les sous-ensembles Ai. Définition : Les (Ai)1≤i sont disjoints deux à deux si etseulement si (en abrégé ssi), pour tout i ≠ j Ai ∩ Aj = ∅. Les (Ai)1≤i forment une partition de l’ensemble E s’ils sont disjoints deux à deux et si : ∪ Ai = E . Dans ce cas pour tout élément x de E, il existe
i =1 ∞

un i et un seul i tel que x∈ Ai. I.1.f. Ensemble produit cartésien Soient E, F deux ensembles. On définit le produit cartésien de E et F par : E × F = {(x,y), x∈E et y∈F}. C’estl’ensemble des couples (x,y) ou x∈E et y∈F. Attention: Couple et paire sont des notions différentes et donc E × F ≠ F × E. De même on définit le produit cartésien pour n ensembles (Ei)1≤i≤n: E1 × …× En = {(x1,…, xn), x1∈E1,…, xn∈En}. Si Ei = E pour tout i on écrit En pour le produit cartésien . Le cardinal d’un produit cartésien : Si E et F sont des ensembles finis alors le produit cartésien E × F est unensemble fini et card(E × F) = card(E) card(F). Dans le cas général, on a pour n ensembles finis (Ei)1≤i≤n: card(E1 × …× En) = card(E1)⋅…⋅card(En).
Tableau 1: Produit cartésien E×F ×

F E a b c d 1 a1 b1 c1 d1 2 a2 b2 c2 d2 3 a3 b3 c3 d3 4 a4 b4 c4 d4 5 a5 b5 c5 d5 6 a6 b6 c6 d6
3

I.1.g. Propriétés élémentaires du complémentaire et des opérations booléennes 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)...
tracking img