EI 1

EI - EXERCICES DE PROBABILITES
CORRIGES

Notations
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

Les coefficients du binôme sont notés np .
Un arrangement de n objets pris p à p est noté Apn .
Si A est un ensemble fini, on notera |A| ou card A le nombre d’éléments de A.
Si a et b sont des entiers tels que a ≤ b, on désigne par [[ a, b ]] l’ensemble [ a, b ] ∩ Z.
Le symbole ⊥
⊥ indique l’indépendance d’événements ou de variables aléatoires.
On désigne par AC le complémentaire de A ou l’événement contraire de A.
On note E et V respectivement, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire.

0 - Dénombrement
1

Etablir les identités

a) Akn1 Ann−k
2
p m b)

n p c)

n1 n2 k n−k n1 +n2 n =

n k n m =

= n!

n1 k n2 n−k n−m n−p n k n1 +n2 −n n1 −k n1 +n2 n1 Solution
a) On a n2 ! n! n1 !
(n1 − k)! (n2 − n + k)! k! (n − k)! n2 ! n1 !
= n! k! (n1 − k)! (n − k)! (n2 − n + k)! n1 n2
= n!
.
k n−k Akn1 Ann−k
2

n k n p p! n! n!
=
, p! (n − p)! m! (p − m)!
(n − p)! m! (p − m)!

=

b) On a

et

n m p m n−m n−p =

=

(n − m)! n! n!
=
, m! (n − m)! (n − p)! (p − m)!
(n − p)! m! (p − m)!

EI 2

d’où l’égalité.
c) En calculant les deux membres on obtient le même résultat n! (n1 + n2 − n)! n1 ! n2 !
.
k! (n − k)! (n1 − k)!(n2 + k − n)! (n1 + n2 )!

2

Etablir l’identité (si 1 ≤ k ≤ n), n−1 n k d)

= j=k−1 j
.
k−1

Solution
On démontre par récurrence, que, pour n ≥ 1, on a la propriété suivante : n−1 j
(Pn ) : pour tout k compris entre 1 et n, on a nk =
.
k−1 j=k−1 Initialisation : On prend n = 1, alors nécessairement k = 1, et on a
1
1

0

j k−1 = j=0 =

0
0

= 1,

et la propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang n. Soit alors k tel que 1 ≤ k ≤ n + 1.
Il y a trois situations possibles.
Si k = n + 1 on a
1=
Si 2 ≤ k ≤ n on peut écrire

n+1 n+1 n+1 k mais aussi 1 ≤ k − 1 ≤ n, donc

n k−1 n

= j=n j
.
n

n n +
.
k k−1 =

On a donc n k

n n =

n−1

= j=k−1 n−1

= j=k−2 j
,
k−1 j , k−2 EI 3

Alors n−1 n+1 k = j=k−1 n−1

=

( j=k−1 n−1