Probas

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 9 (2149 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 9 mai 2011
Lire le document complet
Aperçu du document
Examen de Mathématiques et probabilités du Lundi 15 mars 2010 : Correction Exercice 1 (cours et applications) (6 points) A) Transformée de Fourier 1) Soit �� une fonction de ℝ dans ℝ dont la transformée de Fourier existe. Énoncer et démontrer la formule du retard, c’est-à-dire la transformée de Fourier de la fonction �� ⟼ ��(�� − ��) en fonction de la transformée de �� (�� est un paramètre réel)2) Soit �� une fonction de ℝ dans ℝ. On suppose que �� est dérivable et que les transformées de Fourier de �� et ��′ existent. Énoncer et démontrer la formule liant la transformée de Fourier de ��′ à celle de ��. B) Coniques 1) On considère un réel �� > 0, une droite �� et un point �� du plan n’appartenant pas à la droite ��. Donner, en termes de distances, sans donner d’équation, l’égalitévérifiée par les points �� de la conique ��, d’excentricité ��, de foyer �� et de directrice ��. 2) Donner, en fonction des valeurs de ��, la nature de la conique ��. 3) On note �� le projeté orthogonal de �� sur ��. On note �� la distance �� = ���� , �� le vecteur unitaire �� =
���� ��

et �� = ����. Dans le repère orthonormé direct ��, ��, �� , montrer que la

conique �� est l’ensemble des points�� (��, ��) vérifiant l’équation 1 − �� 2 �� 2 + �� 2 − 2������ − ��2 = 0 4) On considère la parabole �� de foyer �� et de directrice ��. Quel est le sommet �� de la parabole �� ? Donner l’équation de �� dans le repère ��, ��, �� . 5) Application : Dans un repère orthonormé (��, ��, ��), donner l’équation de la parabole de foyer �� = (−2,1) et de directrice �� d’équation : �� = 4. Correction : A)Transformée de Fourier 1) On note �� ∶ �� ⟼ ��(�� − ��) . On a alors :
+∞

�� �� =
−∞

�� �� − �� . �� −2�������� ����

On fait le changement de variable : �� = �� − �� ⟺ �� = �� + �� ; on a : ���� = ����. On obtient :
+∞ +∞ +∞

�� �� =
−∞

�� �� . ��

−2������ (��+��) −2��������

���� =
−∞

�� �� . ��

−2��������

. ��

−2��������

���� = ��

−2��������

.
−∞

�� ��. �� −2�������� ����

On a donc : �� �� = ��

. �� (��).

Page 1 sur 11

ESTACA 2ème année 2009-2010

Maths et probas : Corrigé du DS3 du 15 mars 2010

R. Bondu

2) On a:
+∞

ℱ �� (��) = On réalise une I. P. P. : ℱ �� (��) =




�� ′ (��). �� −2�������� ����
−∞

��′ = �� ′ (��) �� = �� −2��������

�� = ��(��) �� ′ = −2������. �� −2��������
+∞

+∞ ��(��)��−2�������� −∞

+ 2������
−∞

��(��). �� −2�������� ����

Comme la transformée de Fourier de �� est définie, lim±∞ ��(t) = 0⁡ donc
+∞

ℱ �� (��) = 0 + 2������
−∞



��(��). �� −2�������� ���� ⟺ ℱ �� ′ (��) = 2������. ℱ ��(��)

B) Coniques 1) Soit �� un point du plan. �� �� �� ⟺ ���� = ��. distance ��, �� 2) On a 3 types de coniques suivant la valeur de l’excentricité :  0 < �� < 1 correspond à uneellipse  �� = 1 correspond à une parabole  �� > 1 correspond à une hyperbole 3) On a la représentation suivante : �� (�� + ��)

��

�� ��, ��

��

�� �� �� �� �� ��

On note �� le projeté orthogonal du point �� sur la directrice ��. Soit �� le point de coordonnées (��, ��) dans le repère ��, ��, �� . On a : �� �� �� ⟺ ���� = ��. distance ��, �� ⟺ ���� = ��. ���� ⟺ ���� 2 = �� 2 . ���� 2Page 2 sur 11

ESTACA 2ème année 2009-2010

Maths et probas : Corrigé du DS3 du 15 mars 2010

R. Bondu

Or ���� 2 = �� + �� 2 et ���� 2 = �� 2 + �� 2 . On a alors : �� �� �� ⟺ ���� 2 = �� 2 . ���� 2 ⟺ �� 2 + �� 2 = �� 2 . �� + �� 2 ⟺ �� 2 + �� 2 = �� 2 . �� 2 + 2. �� 2 . ��. �� + ���� En notant �� = ��. �� le paramètre de la conique, on a : �� 2 . �� = ��. ��. �� = ��. �� et ��. �� Donc : ���� �� ⟺ �� 2 + �� 2 = �� 2 . �� 2 + 2. �� 2 . ��. �� + ���� ⟺ 1 − �� 2 . �� 2 + �� 2 − 2. ��. ��. �� − ��2 = 0 4) Dans le cas d’une parabole ��, on a : �� = 1. On a alors �� = �� et l’équation précédente devient : �� 2 − 2. ��. �� − ��2 = 0
2 2

2

= ��2 .

⟺ �� 2 + �� 2 = �� 2 . �� 2 + 2. ��. ��. �� + ��2

On appelle sommet de la parabole �� le point �� qui est...
tracking img