Examen de Mathématiques et probabilités du Lundi 15 mars 2010 : Correction Exercice 1 (cours et applications) (6 points) A) Transformée de Fourier 1) Soit �� une fonction de ℝ dans ℝ dont la transformée de Fourier existe. Énoncer et démontrer la formule du retard, c’est-à-dire la transformée de Fourier de la fonction �� ⟼ ��(�� − ��) en fonction de la transformée de �� (�� est un paramètre réel) 2) Soit �� une fonction de ℝ dans ℝ. On suppose que �� est dérivable et que les transformées de Fourier de �� et ��′ existent. Énoncer et démontrer la formule liant la transformée de Fourier de ��′ à celle de ��. B) Coniques 1) On considère un réel �� > 0, une droite �� et un point �� du plan n’appartenant pas à la droite ��. Donner, en termes de distances, sans donner d’équation, l’égalité vérifiée par les points �� de la conique ��, d’excentricité ��, de foyer �� et de directrice ��. 2) Donner, en fonction des valeurs de ��, la nature de la conique ��. 3) On note �� le projeté orthogonal de �� sur ��. On note �� la distance �� = ���� , �� le vecteur unitaire �� =
���� ��

et �� = ����. Dans le repère orthonormé direct ��, ��, �� , montrer que la

conique �� est l’ensemble des points �� (��, ��) vérifiant l’équation 1 − �� 2 �� 2 + �� 2 − 2������ − ��2 = 0 4) On considère la parabole �� de foyer �� et de directrice ��. Quel est le sommet �� de la parabole �� ? Donner l’équation de �� dans le repère ��, ��, �� . 5) Application : Dans un repère orthonormé (��, ��, ��), donner l’équation de la parabole de foyer �� = (−2,1) et de directrice �� d’équation : �� = 4. Correction : A) Transformée de Fourier 1) On note �� ∶ �� ⟼ ��(�� − ��) . On a alors :
+∞

�� �� =
−∞

�� �� − �� . �� −2�������� ����

On fait le changement de variable : �� = �� − �� ⟺ �� = �� + �� ; on a : ���� = ����. On obtient :
+∞ +∞ +∞

�� �� =
−∞

�� �� . ��

−2������ (��+��) −2��������

���� =
−∞

�� �� . ��

−2��������

. ��

−2��������

���� = ��

−2��������

.
−∞