Processus stochastique

1929 mots 8 pages
Processus stochastiques et lemme d’Ito 1- Définitions et principaux types de processus stochastiques a- Processus stochastique
On dit qu’un variable suit un processus stochastique lorsque les changements de valeur de cette variable, au cour du temps sont ,au moins en partie, aléatoires.
Les deux termes aléatoire et stochastiques sont synonymes. Mais pour la variable, on utilise, de préférence, le terme aléatoire. On dit une variable aléatoire. Pour désigner le processus qui se déroule dans le temps, on utilise de préférence le terme stochastique. On dit un processus stochastique.
Lorsque les changements de valeurs de la variable ne se réalisent qu’à des points discrets du temps, on parle de processus en temps discret.
Lorsque les changements peuvent se produire à n’importe quels moments, on dit qu’il s’agit d’un processus en temps continu.
On distingue également les processus à variable discrète et les processus à variable continue. Le caractère discret ou continu du temps se combine avec celui de la variable. Le type de processus qui retiendra le plus notre attention sera en temps continu et à variable continue.
Une variable suit a une distribution de probabilité stable pour toute translation dans le temps suit un processus stationnaire. En revanche si sa distribution de probabilité change, en particulier son espérance et sa variance, on dit qu’elle suit un processus non stationnaire.
On appelle trajectoire l’ensemble des réalisations de la variable (discrète ou continue) pendant un intervalle de temps.
Le processus de Markov est un type de processus stochastique qui a une grande importance en finance. Les valeurs futures d’une variable qui suit un processus de Markov : * Dépendent de la valeur prise par la variable à l’instant présent ; * Ne dépendent que de cette valeur et non des valeurs antérieures.
Considérant une variable qui suit un processus de Markov et la valeur de cette variable à l’instant présent. La prochaine valeur de la

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