Processus stochastique

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  • Publié le : 8 juin 2010
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Processus stochastiques et lemme d’Ito
1- Définitions et principaux types de processus stochastiques
a- Processus stochastique
On dit qu’un variable suit un processus stochastique lorsque les changements de valeur de cette variable, au cour du temps sont ,au moins en partie, aléatoires.
Les deux termes aléatoire et stochastiques sont synonymes. Mais pour la variable, on utilise, depréférence, le terme aléatoire. On dit une variable aléatoire. Pour désigner le processus qui se déroule dans le temps, on utilise de préférence le terme stochastique. On dit un processus stochastique.
Lorsque les changements de valeurs de la variable ne se réalisent qu’à des points discrets du temps, on parle de processus en temps discret.
Lorsque les changements peuvent se produire à n’importe quelsmoments, on dit qu’il s’agit d’un processus en temps continu.
On distingue également les processus à variable discrète et les processus à variable continue. Le caractère discret ou continu du temps se combine avec celui de la variable. Le type de processus qui retiendra le plus notre attention sera en temps continu et à variable continue.
Une variable suit a une distribution de probabilitéstable pour toute translation dans le temps suit un processus stationnaire. En revanche si sa distribution de probabilité change, en particulier son espérance et sa variance, on dit qu’elle suit un processus non stationnaire.
On appelle trajectoire l’ensemble des réalisations de la variable (discrète ou continue) pendant un intervalle de temps.
Le processus de Markov est un type de processusstochastique qui a une grande importance en finance. Les valeurs futures d’une variable qui suit un processus de Markov :
* Dépendent de la valeur prise par la variable à l’instant présent ;
* Ne dépendent que de cette valeur et non des valeurs antérieures.
Considérant une variable qui suit un processus de Markov et la valeur de cette variable à l’instant présent. La prochaine valeur de lavariable va dépendre d’un prochaine tirage aléatoire sur un « accroissement » mais cet accroissement :
* va s’ajouter à la valeur de la variable à l’instant présent
* est indépendant des accroissements aléatoires antérieurs
les processus de Markov en temps continu et à variable continue sont appelés processus de diffusion.
2- Mouvement brownien simple
Le mouvement brownien simple estencore appelé processus de Wiener. Voici ces caractères généraux :
* C’est un processus de Markov en temps continu et à variable continue ( le future ne dépend que du présent et non du passé)
* Ses accroissement aléatoires sont indépendants les uns des autres
* L’accroissement qui se produit au cours d’un intervalle de temps fini a une distribution normale dont la variance augment avecla langueur de l’intervalle

Soit z une variable qui suit un mouvement brownien simple.
Soit ∆z l’accroissement de z pendant un petit intervalle de temps ∆t.
∆z a deux propriétés :
1. ∆z = ԑ ∆t
L’accroissement dépend donc de la racine carrée de l’intervalle pendant lequel il se produit.
ԑ est une variable aléatoire qui a une distribution normale centrée réduite, c'est-à-dire que :* Son espérance mathématique = 0
* Son écart-type = 1
Pour indiquer que ԑ a une distribution normale centrée réduite on utilise la notion suivante :
ԑ↝N(0,1)
des propriétés de ԑ on déduit celles des accroissements ∆z .
rappelons au préalable un théorème de statistique probabiliste : « si X est une variable aléatoire qui suit une loi normale et si k un nombre certain alors kX est unevariable aléatoire qui suit aussi une loi normale d’espérance kE(X) et d’écart-type kσx »
on peut donc conclure :
* L’accroissement ∆z suit une loi normale ;
* L’espérance de ∆z =0
* Ecart-type de ∆z = ∆t
* Variance de ∆z = ∆t
∆z ↝N(0, ∆t)
∆z a donc la double propriétés remarquable de suivre une loi normale et d’avoir une variance qui est égale à la longueur de...
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