Processus stochastiques

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DEA Environnement Marin : processus stochastiques
Avner Bar-Hen Universit´ Aix-Marseille II e 2001-2002

Table des mati` res e
1 Rappels de calcul matriciel et de probabilit´ (cas discret) e 1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 D´ finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Op´ rations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . .e 1.3 Matrice identit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4 Matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Matrice diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Puissance et exponentielle d’une matrice . . . . . . . . 2 Probabilit´ s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1 Axiomes de probabilit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ´e 2.2 Probabilit´ s conditionnelles et ev´ nements ind´ pendants e e 2.3 Variables al´ atoires discr` tes . . . . . . . . . . . . . . . e e 3 Quelques lois discr` tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ` 3.1 Quelques s´ ries a connaˆtre . . . . . . . . . . . . . . . . e ı 3.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ e 3.3 Loi de Poisson (loi des ev´ nements rares). . . . . . . . 3.4 Loi g´ om´ trique ou loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . e e 3.5 Loi g´ om´ trique g´ n´ ralis´ e ou loi binomiale n´ gative . e e e e e e 3.6 Loi hyperg´ om´ trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Puissance . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Voisins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Parapluie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Moutons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Dur m´ tier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2 Couple de variables al´ atoires, loi marginale, loi conditionnelle e 1 Couple de variables al´ atoires . . . .. . . . . . . . . . . . e 1.1 Esp´ rance du couple (X, Y ) . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Matrice de variance-covariance du couple (X, Y ) . . 2 Loi marginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Esp´ rance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 7 8 8 9 9 9 10 10 11 11 11 11 1212 12 13 13 13 13 14 14 14

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. . . . . . ` TABLE DES MATIERES

1

5

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Lois marginales et conditionnelles 5.2 Binomiale et Poisson . . . . . . . 5.3 Famille nombreuse . . . . . . . .

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16 16 16 1617 17 19 19 20 22 22 22 22 23 25 26 26 29 30 31 31 31 31 32 33 35 35 36 36 37

3 Chaˆnes de Markov ı 1 D´ finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2 Propri´ t´ fondamentale des chaˆnes de Markov homog` nes ee ı e 3 Calcul de la loi de Xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matrice de transition dans le temps . . . . . . . . . . . . . 5 Exercices . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Weather in the Land of Oz . . . . . . . . . . . . . 5.2 Propri´ t´ s des chaˆnes de Markov homog` nes . . . ee ı e ´ 5.3 Chaˆne a deux etats . . . . . . . . . . . . . . . . . ı ` 5.4 M´ t´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 4 Convergence des chaˆnes de Markov homog` nes ı e 1 Probabilit´ invariante et convergence . . . . . . . . . . . . e 2...
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