Produit scalaire

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Chapitre 4 : PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
Compétences : Connaître et savoir appliquer les propriétés du produit scalaire dans le plan Savoir définir le produit scalaire dans l’Espace Connaître et savoir utiliser les propriétés du produit scalaire dans l’espace

Partie A : LE PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN 1 Définitions Soit u → v deux vecteurs et trois points A, B et C du plan vérifiant u =AB et v = AC . et → → → → → Si → = → ou → = → alors u . v = 0. u 0 v 0 Si u ≠ 0 et v ≠ 0 , alors les trois points A, B et C sont distincts et définissent un plan et nous donnons quatre définitions du produit scalaire :
→ → → → → →

Définition A1 Projection orthogonale
C

K

Soit K le projeté orthogonal de B sur (AC) H le projeté orthogonal de C sur (AB)
→→

u . v = AB . AC = AB . AH = AK . AC

→ →

→ →

→ →

A

H

B

Définition A2 Normes et cosinus
→ →

C
→ → →

u . v = AB . AC = II AB II × II AC II × cos( AB , AC ) = AB × AC × cos(BAC)
A B

→ →

→

Définition A3 normes II u II = u . u = u
 →

2

→ →

→2

Définition A4 Dans un repère orthonormal
 →  →
→

Dans unrepère orthonormal (O; i , j ), on a u
→ →

Le produit scalaire de u par v est donné par u . v = x x’ + y y’ Conséquence : • le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. → → → → • u . v = v . u • • dans un repère orthonormé le vecteur u dans un repère orthonormé A  

x →  x '    et v   .  y  y'   →   →

 xA     yA 

x →   a pour norme IIuII = x2 + y2  y    xB  →  x B − x A  → 2 2 et B   y  alors AB  y − y  et IIABII = (xB – xA) + (yB – yA)    A  B  B
→

exemple A1 : Calcul de produits scalaires  →  → Dans un repère orthonormé (O;→ j ) , A( 1 ;1) B( –1 ;2) et C( –3 ;0). H est le projeté orthogonal de A sur (BC). i, → 1) Calculer mes( BA ; BC ) arrondi au degré près . 2) Calculer BH BA → Méthode :1) Calculer →. BC à l’aide de A2 et A4, et en déduire mes( BA ; BC ) 2) Calculer BA . BC à l’aide de A1.
→ → → →

2 Propriétés du produit scalaire Théorème A1 Pour tous vecteurs u , v , w , t du plan et pour tout réels a et b, on a :  →  →  →  → • (a u ). v = a u . v →  →  →   → →  → → • u .( v + w ) = u . v + u . w  →  →  →  → • a u . b v = ab u . v → →  →  →  → →  → →  → →  → → • ( u + v ).( w + t ) = u . v + u . w + v . w + v . t Les identités remarquables :  →  → 2 2 →  →  → 2 → (u + v ) = u + 2 u. v + v ⇔  →  → 2 2 →  →  → 2 → ( u – v ) = u –2 u . v + v ⇔  →  →  →  → 2 → 2 → ( u + v ). ( u – v ) = u – v ⇔ II u + v II = II u II + 2 u . v + II v II  →  2 →  2 →  →  →  2 → II u – v II = II u II – 2 u . v + II v II →  →  →  →  2 →  2 → ( u + v ). ( u – v ) = II u II – II v II
 →  →  →  → → →

2

 →

2

 →

 →

 →

2

3 Orthogonalité Définition A5 Vecteur normal à une droite Un vecteur normal à une droite

δ

est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de

δ

.

Théorème A2 Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaireest nul. Autrement dit Corollaire Dans un repère orthonormé (O; i , j ) du plan . u  
 →  →  →

u ⊥ v ⇔ u.v = 0

 →

  → →

 →

 →

 x    x'  →  et v   deux vecteurs du plan.   y'   y  

u ⊥ v ⇔ xx’ + yy’ = 0

 →

exemple A2 :Etablir une orthogonalité ABCD est un carré . Soit I et J deux points tels que BI = DMQ (AI) ⊥ (BJ) Théorème A3 distance d’unpoint à une droite Dans un repère orthonormal (O; i , j ), la distance du point A de coordonnées A   d’équation cartésienne δ : ax + by + c = 0 est : d(A, δ ) = axA + byA + c a +b
2 2
 →  →
→ → 1 → 1 → BC et CJ = CD 5 5

 xA   à la droite δ   yA 

2

prérequis dans un repère orthonormé si alors n
→

δ

: ax + by +c = 0

A H v

Dém:Méthode : Calculer n ....
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