calaire dans l'espace

Correction du DM Ch4 : Géométrie - Produit scalaire dans l’espace

Exercice 1 (6 points)
[pic]
1) a) Calculer les produit scalaires : [pic] et [pic].
Par Chasles [pic]
(AD) est perpendiculaire au plan (CDH) d’où (AD) est perpendiculaire à (CH) et[pic]
Par projection orthogonale de [pic]sur (DH) : [pic].
Par projec. orthogonale de [pic]sur (HG):[pic]= –1
Finalement [pic]= 0. (0,75 pt)
De même [pic]= [pic] =[pic] (0,75 pt) b) Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (CFH). D’après le a), (AG) est perpendiculaire à deux droites sécantes (CH) et (CF) du plan (CFH) . Donc (AG) est orthogonale au plan (CFH). (0,5 pt) 2) a) Démontrer que les points A, G et I appartiennent au plan médiateur du segment [CH].
[AC] et [AH] sont deux diagonales de deux faces du cube d’où AC = AH
[GC] et [GH] sont deux arêtes du cube d’où GC = GH
Le triangle CFH est équilatéral car ses 3 côtés sont 3 diagonales de 3 faces du cube d’où I est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle CFH , on en déduit que IC = IH .
Finalement les points A, G et I sont équidistants de C et de H donc ils appartiennent au plan médiateur du segment [CH]. (0,5 pt) b) Démontrer que les points A, G et I appartiennent au plan médiateur du segment [CF].
Par le même raisonnement que précédemment on montre que AC = AF , GC = GF et IC = IF
Donc A , G et I appartiennent au plan médiateur du segment [CF].(0,5 pt) c) Que peut-on en déduire des points A, G et I ?
On en déduit que les points A , G et I appartiennent à deux plans distincts non parallèles donc ils appartiennent à l’intersection de ces deux plans qui est une droite .
Conclusion : les points A, G et I sont alignés. (0,5 pt) 3) Démontrer que le point I est le projeté orthogonal de A sur le plan (CFH).
On sait que la droite (AG) est orthogonale au plan (CFH) et I est un point de ce plan . De plus