Profession de foi du vicaire ( citations)

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Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD

Enoncés

1

Déterminants
Applications multilinéaires
Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E× E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E.

Déterminant d’une matrice
Exercice 5 [ 01414 ] [correction] ¯ Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). On note A = (¯i,j ) ∈ Mn (C). a Former une relation liant det(A) et det A.

Exercice 6 [ 01415 ] [correction] ¯ Soit A ∈ Mn (C) telle que t A = A. Montrer que det A ∈ R.

Exercice 7 [ 01416 ][correction] Soit A une matrice antisymétrique d’ordre 2n + 1. Montrer que det A = 0. Ce résultat est-il encore vrai lorsque A est d’ordre pair ?

Déterminant d’un endomorphisme
Exercice 2 [ 01411 ] [correction] Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E vérifiant f 2 = −Id. Montrer que dim E est pair. Exercice 8 [ 01417 ] [correction] Comparer det(ai,j ) etdet((−1)i+j ai,j ) où (ai,j )1
i,j n

∈ Mn (K).

Calcul de déterminants
Exercice 9 [ 01418 ] [correction] Calculer sous forme factorisée les 0 a b a b c a) a 0 c b) c a b c) b c 0 b c a a a a a a c c a b b b c a b d) e) a b c c c b a a b c d b c c déterminants suivants : a+b b+c c+a a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 b 1 1 1 c f) cos a cos b cos c . c sin a sin b sin c a

Exercice 3 [01412 ] [correction] Soit V = {x → ex P (x) | P ∈ Rn [X]}. a) Montrer que V est un sous-espace vectoriel de F(R, R) dont on déterminera la dimension. b) Montrer que l’application D : f → f est un endomorphisme de V dont on calculera le déterminant.

Exercice 4 Centrale PC [ 03071 ] [correction] Soit f un en endomorphisme du R-espace vectoriel C. a) Montrer qu’il existe d’unique complexe a, b telsque ∀z ∈ C, f (z) = az + b¯ z b) Exprimer en fonction de a et b le déterminant de f .

Exercice 10 [ 01419 ] [correction] Soient a1 , . . . , an ∈ C. Calculer det(amax(i,j) ). En déduire en particulier det(max(i, j)) et det(min(i, j)).

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Exercice 11 [ 01420 ] [correction] Soient a1 , a2 , . . . , an ∈ K. Calculer a1 a2 .. . ··· .. . .. .an . . . a2 a1

Enoncés Exercice 15 [ 01425 ] [correction] Soient a = b et λ1 , λ2 , ..., λn . On pose λ1 + x ∆n (x) = b+x . . . b+x a+x λ2 + x .. . ··· ··· a+x . .. . . . .. . a+x b + x λn + x

2

(a1 )

[n]

Exercice 12 [ 01421 ] [correction] Soit n ∈ N . Calculer S1 S1 S1 . . . S1 où pour tout 1 k n on a

a) Montrer que ∆n (x) est une fonction affine de x. b) Calculer ∆n (x) et endéduire ∆n (0). S1 S2 S2 . . . S2 S1 S2 S3 . . . S3
k

··· ··· ··· .. . ···

S1 S2 S3 . . . Sn

Calcul par relation de récurrence
Exercice 16 [ 01426 ] [correction] Calculer en établissant une relation de récurrence 0 1 .. . .. . ··· ··· .. . .. . −1 1 . . . 1 0

Sk =
i=1

i

Dn =

−1 . . . −1

[n]

Exercice 13 [ 01422 ] [correction] Calculer de deux façons : a b

−b a

c −d dc

Exercice 17 [ 01427 ] [correction] Calculer en établissant une relation de récurrence 0 1 .. . .. . ··· ··· .. . .. . 1 1 . . . 1 0

Exercice 14 Soit

[ 01423 ]

[correction] 

Dn = 

a b c d  −b a −d c   A=  −c d a −b  −d −c b a

1 . . . 1

[n]

avec a, b, c, d ∈ R. a) Calculer t A.A. En déduire det A. b) Soient a, b, c, d, a , b , c , d ∈ R. Montrer qu’il existe a ,b , c , d ∈ R tels que : (a2 + b2 + c2 + d2 )(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) = a
2

Exercice 18 [ 01428 ] [correction] Calculer en établissant une relation de récurrence 1 . . . 1 ··· .. . (0) 1 (0) 1

+b

2

+c

2

+d

2

Dn =

[n]

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Exercice 19 [ 01429 ] [correction] Calculer en établissant une relation de récurrence 2 Dn...
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