Programmation Linéaire Méthode graphique

Programmation linéaire Exemple

• Une compagnie fabrique 2 produits (A et B) sur 3 machines. • Les temps machines sont disponibles en quantités limitées. • Les temps de traitement nécessaires par unité de chaque produit sont connus ainsi que les profits unitaires. • Problème: Plan de production qui maximise le profit total ?

Produits A B Disponibilité

Machine1 Machine2 Machine3 Profit 1 0 4 0 2 12 3 2 18 3 5

Programmation linéaire
Exemple

Variables de décision:

x1 : quantité du produit A à fabriquer x 2 : quantité du produit B à fabriquer
Fonction économique: 3x1 + 5 x2 Contraintes:

≤ 4 (machine1) 2 x2 ≤ 12 (machine 2) 3x1 + 2 x2 ≤ 18 (machine3) x1 x1 ≥ 0 et x2 ≥ 0.

Programmation linéaire
Exemple

maximiser 3 x1 + 5 x 2 x∈S  x ∈ IR 2 : x1 ≤ 4,  2 x 2 ≤ 12,  S= 3 x1 + 2 x 2 ≤ 18,   x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0. 

      

Programmation linéaire
Méthode graphique de résolution

la droite d' équation 3 x1 + 2x 2 = 18

8

la droite d' équation 2 x 2 = 12

6 4 2 Ensemble de contraintes

la droite d' équation x1 = 4

2

4

6

8

Programmation linéaire
Méthode graphique de résolution

8

Les sommets de l’ensemble de contraintes

6 4 2

IL existe toujours un sommet de l’ensemble de contraintes qui est une solution optimale
2 4 6 8

Programmation linéaire
Méthode graphique de résolution

Principe de la méthode Tracer les droites correspondantes aux contraintes. Déterminer l’ensemble de contraintes en vérifiant le sens des inégalités pour chaque contrainte. Tracer les droites correspondantes à la variation de l’objectif. Suivre les déplacements des droites précédentes dans le sens de maximisation de l’objectif. Arrêter les déplacements juste avant que l’intersection avec l’ensemble de contraintes ne devient vide. La dernière intersection non vide est l’ensemble de solutions optimales.

Programmation linéaire
Méthode graphique de résolution

la