PROBLÈME 1 : Optimisation d’une fonction à une variable

Soit la fonction f(x)= 2x4 – 3x3 – 8 -1 ≤ x ≤ 2 -x2 + 8x – 12 2 ≤ x ≤ 5

1.1 Voir le graphique Excel en annexe page 9

1.2 Points stationnaires f’(x) = 8x3 – 9x2 -1 ≤ x ≤ 2 -2x + 8 2 ≤ x ≤ 5

f’(x) = 8x3 – 9x2 = 0 x2(8x-9) = 0

⇢ x2 = 0 ⇢ 8x – 9 = 0 x = 0 8x = 9 x = f’(x) = -2x + 8 = 0 -2x = -8 x = 4

Les points stationnaires de f (x) sont {0 , , 4}.

1.3 Nature locale

Nature locale des points stationnaires

f’’(x) = 24x2 – 18x -1 ≤ x ≤ 2 -2 2 ≤ x ≤ 5

f’’(0) = 24 (0)2 – 18(0) = 0 ⇢ incapable de déterminer

Analyse de convexité : 24x2 – 18x ≥ 0 ? Convexe ∀ x ≤ 0 Concave ∀ x ≥ 0 donc, x= 0 est un point singulier

f’’(9/8) = 24 ()2 – 18() = 10,125 > 0, donc le point stationnaire est un minimum local

f’’(4) = -2 < 0, donc le point stationnaire 4 est un maximum local

Nature locale des bornes

f’(-1) = 8(-1)3 – 9(-1)2 = -8 – 9 = -17 < 0, donc la borne inférieure