ISFA 2
Universit´ Claude Bernard Lyon 1 e Ann´e universitaire 2006-2007 e Processus stochastiques

F. Bienvenue-Duheille
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Jusqu’` maintenant, les cours de probabilit´s que vous avez suivis se sont int´ress´s essentiellement a e e e a e
` l’´tude d’une variable al´atoire, notamment sa loi, son esp´rance, sa variance, ou plus g´n´ralement ` e e e e a l’´tude d’un couple ou vecteur al´atoire. Vous avez ´galement ´tudi´ le comportement de suites form´es e e e e e e a ` partir de variables al´atoires ind´pendantes et identiquement distribu´es avec en particulier les lois e e e des grands nombres et le th´or`me central limite mais aussi tous les th´or`mes statistiques. e e e e
Ce cours s’int´resse aux processus stochastiques, c’est-`-dire aux familles de variables al´atoires e a e index´es par un param`tre discret ou continu, repr´sentant le temps. La loi d’un processus (Xt )t∈I e e e sera donn´e par la loi conjointe de (Xt1 , · · · , Xtn ), pour tout choix de n ∈ N∗ et de ti ∈ I, et non e simplement par la loi de chacune des variables al´atoires Xt . e Avant de vous pencher sur ce cours, prenez le temps de revisiter vos cours de calcul int´gral et e probabilit´, en ouvrant un oeil ´veill´ sur les notions de mesurabilit´, lois usuelles discr`tes et ` densit´s, e e e e e a e lois conjointes, esp´rance conditionnelle, lois fortes de grands nombres, th´or`me central limite... sans e e e oublier les diff’erents modes de convergence (p.s., en loi, dans Lp ) et sans que cela soit limitatif !

Chapitre 1

Chaˆ ınes de Markov
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D´finitions, propri´t´s e e e

1.1

Le mod`le e On dispose :
– d’un espace d’´tats, c’est-`-dire d’un ensemble E fini ou d´nombrable, e a e – d’une loi de probabilit´ µ0 sur E qui jouera le rˆle de loi initiale, e o
– des probabilit´s de transition (ou de passage) de x vers y, c’est-`-dire d’une famille e a
(p(x, y))(x,y)∈E 2 de nombres r´els positifs