Quadratique

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CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

TD 07 Formes quadratiques
K = R ou C. E un K-espace vectoriel normé. Exercice 1: Soit q : E → E. 1: Montrer que q ∈ Q(E) ssi ∀x ∈ E, q(−x) = q(x) et (x, y) → q(x + y) − q(x) − q(y) est une forme bilinéaire sur E. Montrer que la deuxième condition seule ne suffit pas pour dire que q ∈ Q(E). 2: Montrer que q ∈ Q(E) ssi ∀x ∈ E, q(0) = 0 et (x, y) →q(x + y) − q(x − y) est une forme bilinéaire sur E. Montrer que la deuxième condition seule ne suffit pas pour dire que q ∈ Q(E). Exercice 2: Vérifier s’il sagit bien d’une forme quadratique : 1) E = Mn (R), S ∈ Sn (R), q(A) = tr(SAtA) 2)E = R3 , u, v ∈ E = R3 , q(x) = [x, u, v ∧ x] 3) f, g ∈ E ∗ , q(x) = f (x)g(x) 4)E = Rn [X], q(P ) = P (0)P (1)P (2) 5) E = Rn [X], q(P ) = P (0)P (0) R1 6)E = Rn[X], q(P ) = |P (0)P (1)| 7) E = C[0, 1]), q(f ) = 0 f 2 Exercice 3: Soit q ∈ Q(E). Montrer que ∀x, y, z ∈ E, q(x + y + z) = q(x + y) + q(y + z) + q(z + x) − q(x) − q(y) − q(z). −→ − 1 Exercice 4: Soit q ∈ Q(Rn ) de forme polaire ϕ. Montrer que ∀x, y ∈ Rn , ϕ(x, y) = 2 < gradq(x), y > où < ., . > désigne le produit scalaire usuel sur Rn . Exercice 5: Donner dans chaque cas la matrice, la formepolaire associée, la décomposition en carrés, le rang, la dégénérescence, la signature et la positivité des formes quadratiques suivantes : 1) q(x, y) = 2x2 − 4xy + 5y 2 2) q(x, y, z, t) = xy + yz + zt + tx 3) q(x, y, z) = x2 − 2y 2 + xz + yz 4) q(x, y, z) = 2x2 − y 2 + 2xy − 2xz + 6yz 5) q(x, y, z, t) = xz + xt + yz + yt 6) q(x, y, z) = (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 7) q(x, y, z) = x2 + 2y 2 + 4xy +4xz + 2yz. Exercice 6: Vérifier que q(P ) = P (0)P (1) est une forme quadratique sur R2 [X]. Donner sa forme polaire, sa matrice dans la base canonique de R2 [X]. Est-elle non dégénérée ? Positive ? Trouver une base dans laquelle la matrice de q est diagonale. Exercice 7: Soit, dans R3 [X], la forme quadratique q(P ) = P 2 (0) + P 2 (1) + P 2 (2) + P 2 (3). Trouver sa signature et une base de R3[X] qui soit q-orthogonale. Exercice 8: Soient f1 , f2 ∈ E ∗ linéairement indépendantes. On pose ∀x ∈ E, q(x) = f1 (x)f2 (x). Montrer que q est une forme quadratique. Déterminer sa signature, son noyau et son rang. Exercice 9: Réduire dans une BON la forme quadratique q(x, y, z) = x2 + 3y 2 − 3z 2 − 8yz + 2zx − 4xy. Exercice 10: Soit, sur R4 , la forme quadratique q(x, y, z, t) = x2 + z 2 + t2 − 2xz+ 2xt + 4yz + 6zt. Trouver une base q-orthogonale de R4 et donner la matrice de q sur cette base. Exercice 11: Soit a ∈ R et q la forme quadratique définie sur par : q(x, y, z) = x2 + (1 + a)y 2 + (1 + a + a2 )z 2 + 2xy − 2ayz. 1: Décomposer q en combinaison linéaire de de carrés de formes linéaires indépendantes. 2: Donner, suivant les valeurs de a, le rang et la signature de q. 3: Pour quellesvaleurs de a q est une norme euclidienne ?
Z
1

Exercice 12: Vérifier que q(P ) =
0

P P est une forme quadratique sur R2 [X]. Déterminer sa forme polaire, son rang, sa

signature et une base q-orthogonale de R2 [X]. Exercice 13: Déterminer la signature de la forme quadratique q(x, y, z) = (2x + y − z)2 − (3x − y + +2z)2 + (5y − 7z)2 sur R3 . Exercice 14: Soient a, b ∈ R. Déterminer suivantles valeurs de a et b la signature de la forme quadratique sur q(x, y, z, t) = xy + ayz + bxt + yt sur R4 . Exercice 15: Soit, sur R4 , la forme quadratique : q(x, y, z, t) = x2 + z 2 + t2 − 2xz + 2xt + 4yz + 6zt. Déterminer une base q-orthogonale de R4 . Exercice 16: Soit q ∈ Q(E) définie. Montrer que q garde un signe constant sur E. Exercice 17: On suppose que E est un R-espace vectoriel dedimension finie. Soit q ∈ Q(E) positive. 1: Montrer que Kerq est un sev de E de codimension rgq. 2: Application : Soient l1 , . . . , lp des formes linéaires sur E et q la forme quadratique sur E définie par q =
p X 2 lk . Montrer k=0

que rgq = rg(l1 , . . . , lp ). Exercice 18: On suppose que E est un R-espace vectoriel de dimension finie. Soit q ∈ Q(E) de signature (s, t). Soit F un sous-espace...
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