La racine carrée

La racine carrée
Classes de Troisième - Seconde
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I Définition
Définition 1 (Racine carrée)
La racine carrée de a est le nombre positif qui, élevé au carré, donne a. On la note

Exemples.
√
√0 =
1 =
√
4 =
√
9 =
√
16 =
√
√25 =
36 =

0
1

car car 02 = 0
12 = 1

2
3

car car 22 = 4
32 = 9

4
5
6

car car car

42 = 16
52 = 25
62 = 36

√
√49
64
√
81
√
100
√
121
√
√144
169

=
=

7
8

car car 72 = 49
82 = 64

=
=

9
10

car car 92 = 81
102 = 100

=
=
=

11
12
13

car car car

112 = 121
122 = 144
132 = 169

√
a.

Approximations au millième à connaitre
√
2 ≈ 1, 414
√
3 ≈ 1, 732

II Propriétés
II.1 Propriétés liées à la définition
Propriété 1
1. Pour tout réel positif a on a :

√ a≥0 ;

3. Pour tout réel x on a :
√
x2 = |x| = distance à zéro de x

√ 2
2. Pour tout réel positif a on a : ( a) = a ;

II.2 Produit
Propriété 2 (Racine carrée d’un produit)
∀a ∈ R+ , ∀b ∈ R+

√
√
√ a×b= a× b

Exemples
√
32
√
= 16 × 2
√
√
= 16 × 2
√
A= 4 2
A=

www.math93.com / M. Duffaud

B=
=

√
√

150

25 × 6
√
= 25 × 6
√
B= 5 6
√

√
√
C = 3 8 − 200
√
√
= 3 4 × 2 − 100 × 2
√
√
= 3 × 2 × 2 − 10 × 2
√
C = −4 2

1/2

La racine carrée

II.3 Quotient
Propriété 3 (Racine carrée d’un quotient)

∀a ∈ R+ , ∀b ∈

R∗+

√ a a
= √ b b

Exemples
√
20
E=2 √
5

16
D=
25
√
16
=√
25
D=

20
5
√
=2 4
=2

4
5

E= 4

II.4 Et l’addition ?
Il n’y a pas de règle pour l’addition. On a par exemple :
√
√
1+ 1=1+1=2
•
√
√
•
1+1= 2
√
Or 2 = 2

III Suppression des radicaux au dénominateur
Pour supprimer les radicaux au dénominateur d’une expression fractionnaire, on utilise, soit la propriété 1, soit l’expression
√
√
√
√ a + b qui est a − b .