TP : Loi de décroissance radioactive et la méthode d’Euler

Objectifs

* Utiliser la méthode d’Euler manuellement et avec un tableur.

* Utiliser le tableur Excel (formules et graphique).

I. Le problème à résoudre

A la date t = 0 on connaît le nombre de noyaux N(0).
L’équation différentielle de décroissance radioactive s’écrit : [pic] = – λ N(t).
Dans certain cas, on peut très bien avoir établi une équation différentielle mais ne pas savoir la résoudre (on le verra plus tard en mécanique). Une méthode permet quand même de tracer de façon approchée la courbe solution de cette équation différentielle et donc de pouvoir l’exploiter (afin de trouver une demi-vie par exemple). C’est la méthode d’Euler.

II. Principe de la méthode d’Euler

La définition de la dérivée nous permet d’écrire : [pic] = [pic] donc on en déduit : N(t + Δt) = N(t) + [pic] ( Δt avec [pic] = – λ N(t)

III. Les calculs à effectuer

( A la date t = 0 on connaît N(0) et l’on peut calculer la dérivée en utilisant l’équation différentielle :
[pic] = – λ N(0)
( A la date t1 = 0 + Δt on calcule N1(Δt) par la formule : N1(0 + Δt) = N(0) + [pic] ( Δt.
On peut donc en déduire une nouvelle valeur de la dérivée [pic]= – λ N1(Δt).

( A la date t2 = Δt + Δt = 2.Δt, on calcule N2(2.Δt) par la formule : N2(2Δt) = N1(Δt) + [pic] ( Δt.
On peut donc en déduire une nouvelle valeur de la dérivée [pic]= – λ N2(2Δt) et ainsi de suite…

Remarques :

* Le choix de Δt est important : il doit être le plus petit possible !

* Néanmoins, pour des raisons pratiques évidentes, quand on fait les calculs « à la main », il faut prendre une valeur « raisonnable » .

* Une valeur de Δt plus petite que celle proposée donnerait une résolution meilleure !

* Une valeur de Δt trop forte risque de donner des résultats vraiment incohérents.
Application : N(0) = 18 554 noyaux (valeur du précédent TP) ; Δt = 2 s ; λ = 1,33.10–2 s(1.

|Date (s) |Δt (s) |[pic]