DEVOIR DE MATHÉMATIQUES

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements constituent un objectif majeur pour les épreuves écrites de mathématiques et entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Problème (d'après Polynésie Juin 1997 )
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x - 1 + (x2+ 2)e-x
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;,) (unité graphique 2cm).
Pour tout l'exercice on pourra admettre ou démontrer que  x2 e-x = 0 .

Partie I : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur IR par g(x) = 1 - (x2 - 2x + 2)e-x

1°) Étudier les limites de g en - et .

2°) Calculer la dérivée de g et déterminer son signe.

3°) En déduire le tableau de variation de g.

4°) Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique  dans IR . Donner un encadrement d'amplitude 10-2 de 

5°) En déduire le signe de g.

Partie II : Étude de f

1°) Étudier les limites de f en - et .

2°) Déterminer f'(x) pour tout x réel.

3°) En déduire, à l'aide de la partie I, les variations de f et donner son tableau de variation.

4°) Démontrer que f() = (1 + 2e-)

5°) Démontrer que la droite  d'équation y = x - 1 est asymptote à (C) en . Préciser la position de (C) par rapport à .

6°) Donner une équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 0.

7°) Tracer , T puis (C).
CORRECTION DEVOIR
Problème

Partie I : Étude d'une fonction auxiliaire

1°) On sait que  (x2 - 2x + 2) =  x2 =  et  e-x =  e X =  Donc  (x2 - 2x + 2)e-x =  et  1 - (x2 - 2x + 2)e-x = - donc . D'autre part, lorsque x  0, on peut écrire g(x) = 1 - x2e-x On sait que  x2 e-x = 0 , et   = 1 donc  x2e-x = 0 Donc  1 - x2e-x = 1 donc .

2°) g est définie sur IR par g(x) = 1 - (x2 - 2x + 2)e-x g est donc somme, produit et composée de fonctions