Principe du raisonnement par récurrence… On cherche à faire quelque chose, comme par exemple, compter le nombre d’éléments strictement positifs dans un vecteur d’entiers V[1..n]. Une réflexion préalable nous amène à penser qu’il va falloir parcourir tout le vecteur en mémorisant, au fur et à mesure de la lecture, le nombre d’entiers positifs que l’on y trouve dans une variable nb. Donc… une itération (boucle) serait bienvenue !!! On commence par un petit dessin pour savoir où on met les pieds…
1 2 3 i-1 i n-1 n

V

-3 40 8

-1

8

9 125

Puis, on se dit (comme ça) que si on savait compter les entiers strictement positifs de V à partir de l’indice 1 et jusqu’à l’indice i‐1, cela ne devrait pas être bien plus compliqué de savoir les compter jusqu’à l’indice n…. Donc, on fait l’hypothèse qu’on sait le faire, si, si ! Hypothèse : « Je sais compter les entiers positifs de V à partir de l’indice 1 et jusqu’à l’indice i‐1 » Ce qui peut se traduire de façon un peu moins verbeuse par : Hypothèse : nb = nombre d’entiers positifs dans V de l’indice 1 à l’indice i‐1 Ou, de façon encore moins verbeuse : Hypothèse : nb = nombre d’entiers positifs de V[1..i‐1] Et pour compléter cette hypothèse, on se dit que l’indice i‐1 peut être n’importe quel indice du vecteur, mais que bien entendu il est au maximum égal à n ! Si la plus grande valeur que peut prendre i‐1 est égale à n, alors la plus grande valeur possible pour i est égale à n+1. Ce qui donne au final : Hypothèse : nb = nombre d’entiers positifs de V[1..i‐1], i  n+1 Ensuite, il ne reste qu’à dérouler le tapis !!! Comme la plus grande valeur possible de i est égale à n+1, il y a deux cas à envisager : 1er cas : i est égal à n+1 2ème cas : i est strictement inférieur à n+1  Dans le premier cas, selon notre hypothèse, nb étant le nombre d’entiers positifs de V[1..i‐1] et i‐1 étant égal à n, nb est donc le nombre d’entiers positifs de