Raisonnement par récurrence

P(n) désigne une certaine propriété dépendant d’un entier n et n0 désigne un entier naturel donné. On veut démontrer que pour tout entier naturel n ≥ n0 , la propriété P(n) est vraie. Pour cela, on procède en deux étapes : Etape 1. On vérifie que P(n0 ) est vraie, Etape 2. On se donne un entier n ≥ n0 quelconque. On suppose que pour cet entier n la propriété P(n) est vraie (c’est l’hypothèse de récurrence) et on montre que sous cette hypothèse la propriété P(n + 1) est vraie. Exemple 1. Montrer par récurrence que pour tout entier n ≥ 6, 2n ≥ 6n + 7. Solution 1. • Si n = 6, 2n = 26 = 64 et 6n + 7 = 6 × 6 + 7 = 43. Comme 43 < 64, l’inégalité de l’énoncé est vraie quand n = 6. • Soit n ≥ 6. Supposons que 2n ≥ 6n + 7 et montrons que 2n+1 ≥ 6(n + 1) + 7. 2n+1 = 2.2n ≥ 2(6n + 7) (par hypothèse de récurrence) = 12n + 14 = 6(n + 1) + 7 + 6n + 1 ≥ 6(n + 1) + 7. On a montré par récurrence que, pour tout entier naturel n ≥ 6, 2n ≥ 6n + 7. 1 Exemple 2. Soit (un ) la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 = un + 2. Montrer par récurrence 2 1 que pour tout entier naturel n, un = 4 − n−1 . 2 Solution 2. 1 • Si n = 0, 4 − n−1 = 4 − 2 = 2 = u0 . L’égalité de l’énoncé est vraie quand n = 0. 2 1 1 • Soit n ≥ 0. Supposons que un = 4 − n−1 et montrons que un+1 = 4 − (n+1)−1 . 2 2 un+1 = 1 un + 2 2 1 1 = 4 − n−1 + 2 (par hypothèse de récurrence) 2 2 1 1 1 =2− + 2 = 4 − (n+1)−1 . 2 2n−1 2 1 2n−1 .

On a montré par récurrence que, pour tout entier naturel n, un = 4 −

Exemple 3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 22n + 2 est un entier divisible par 3. Solution 3. • Si n = 0, 22n + 2 = 20 + 2 = 3 qui est bien divisible par 3. L’affirmation de l’énoncé est vraie quand n = 0. • Soit n ≥ 0. Supposons que 22n + 2 est un entier divisible par 3, et montrons que 22(n+1) + 2 est un entier divisible par 3. On a 22(n+1) + 2 = 22n+2 + 2 = 4.22n + 2 = 3.22n + 1.22n + 2 = 22n + 2 + 3.22n . Par hypothèse de récurrence, il existe un