Exercices - Théorie des graphes - exercices théoriques : corrigé Exercice 1 - Les amis - Master Enseignement 1. On doit prouver que dans un graphe simple (sans arête double, sans boucle), il y a toujours deux sommets qui ont le même degré. 2. On va raisonner par l’absurde et supposer qu’il y a un graphe simple à n sommets dont tous les degrés sont différents. Alors les degrés des sommets sont compris entre 0 et n−1, et donc si tous les degrés sont différents, comme on a n sommets et simplement n possibilités pour les degrés, toutes ces possibilités doivent être prises. En particulier, il doit y avoir un sommet de degré 0 et un sommet de degré n − 1. Mais c’est impossible, car ce dernier sommet devrait avoir une arête vers tous les autres, et ce n’est pas possible puisqu’un sommet est de degré 0, donc isolé.

Exercice 2 - Graphe régulier - Master Enseignement 1. Le nombre de sommets est supérieur ou égal à 4 (chaque sommet est relié à 3 autres). De plus, le nombre de sommets doit être pair. En effet, on part de l’équation deg(x) = 2m x∈G où m est le nombre d’arêtes. Si n est le nombre de sommets du graphe, on obtient 3n = 2m, ce qui impose n pair. 2. D’abord pour p = 2, le résultat est vrai : il suffit de considérer le graphe complet à 4 sommets. Pour p ≥ 3, on partage l’ensemble des sommets en 2, d’une part {a1 , . . . , ap }, d’autre part {ap+1 , . . . , a2p }. Les arêtes sont les suivantes : – a1 est relié à ap+1 , ap+2 et ap+3 ; – a2 est relié à ap+2 , ap+3 et ap+4 ; – ... – ap−2 est reliés à a2p−2 , a2p−1 et a2p ; – ap−1 est relié à a2p−1 , a2p et a1 ; – ap est relié à a2p , a1 et a2 . On obtient bien un graphe d’ordre 2p dont tous les sommets sont de degré 3.

Exercice 3 - Connexité - I - Master Enseignement Supposons par l’absurde que ce graphe ne soit pas connexe, et soient x, y deux sommets tels qu’il n’existe pas de chaine liant x à y. Alors, x a au moins p voisins, et il en est de même pour y. Mais les voisins de x sont forcément tous distincts des