Problème
On cherche à résoudre le système suivant de équations à inconnues :

Du point de vue matriciel, on a

avec

Exemple de résolution
Considérons le système suivant :

avec

Première étape du pivot de Gauss pour éliminer les variables dans les lignes et :

Seconde étape du pivot de Gauss pour éliminer les variables dans la ligne :

En remontant le système, on obtient aisément la solution du système :

Algorithme de la méthode du pivot de Gauss : Triangularisation

Soit la matrice échelonnée du système, on a alors

Algorithme de la méthode du pivot de Gauss : Remontée et résolution
À présent la matrice du système linéaire est échelonnée, on doit alors résoudre le système triangulaire :

puisque rappelons le, est le second membre échelonné, il a subi les mêmes opérations que la matrice échelonnée .
On utilise alors un algorithme de remontée pour le système :

Nous allons étudier une méthode directe de résolution de système linéaire : la décomposition LU. L’objectif est de mettre A sous la forme d’un produit d’une matrice triangulaire inférieure L à diagonale unité par une matrice triangulaire supérieure U.
Soit une matrice de taille . La factorisation , consiste, pour une matrice , à déterminer une matrice triangulaire inférieure à diagonale unité et une matrice triangulaire supérieure tel que avec

et

Résolution de système
Pour la résolution de système linéaire de la forme :, le système devient

On résout le système (1) pour trouver le vecteur , puis le système (2) pour trouver le vecteur . La résolution est facilitée par la forme triangulaire des matrices.

Théorèmes Si admet une décomposition , alors celle-ci est unique. admet une décomposition si, et seulement si, ses mineurs principaux sont non nuls (le mineur principal d’ordre de désigne le déterminant de la matrice obtenue à partir de A en extrayant les k premières lignes et colonnes). Si est simplement supposée inversible, alors peut