UCAM-FSJES novembre 2013

Algèbre linéaire
Exercices

Pr. Essardi

Exercice 1 :
Soient E1 = {( x1 , 0 ) ; x1 ∈ℝ } et E 2 = {( 0 , x2 ) ; x2∈ℝ } .
Montrer qu’ils constituent des espaces vectoriels.

Solution 1 :
Rappelons d'abord que E1 et E 2 sont des sous-ensembles de ℝ

et que les lois de composition interne et externe ne sont que les lois habituelles + et × . Nous savons déjà que ( ℝ2 ,+, × ) est un espace vectoriel. Nous n'avons donc pas besoin de vérifier toutes les propriétés (8 propriétés) d'un
E.V., mais seulement la stabilité des 2 sous-ensembles pour les deux lois.
1. On vérifie premièrement que E1 et E 2 ne sont pas vides. En effet puisque x 1 , x2 ∈ℝ alors (0 , 0) ∈ E1 et (0 , 0 ) ∈ E2 et alors E1 ≠∅ et E 2≠∅ .
2. On peut vérifier la stabilité de l'addition séparément de celle de la multiplication ou les vérifier ensemble comme suivant :
Si on forme une combinaison linéaire de deux éléments (ou plus) x et y quelconques de
E1 , soit α x +β y avec α , β∈ℝ , appartient-elle encore à E1 ? x ∈ E1 ⇒ x =( x1 , 0) et y ∈ E1 ⇒ x=( y1 , 0 ) α x +β y= α ( x1 , 0 )+β ( y1 ,0 )=( α x1+β y1 , 0 ) et puisque α ,β , x1 , y1 ∈ ℝ alors α x1 +β y 1 ∈ℝ et par conséquent ( α x1 +β y1 , 0) ∈ E1 . L'addition est alors stable dans E1 .
On peut suivre le même raisonnement pour E 2 .
Les deux sous-ensembles E1 et E 2 sont fermes pour les opérations + et × et donc ils sont des sous-espaces vectoriels de ℝ2 .

Exercice 2 :
Déterminer si les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de ℝ2 :
2
F1 = {( x , y )∈ℝ
F 2 = {( x , y )∈ℝ
; 2 x − 4 y=0 }
2 ; 2 x − 4 y + 5=0 }
2 2
F3 = {( x , y )∈ℝ
; x − y=0 }
Donner une représentation géométrique de ces ensembles.

Solution 2 :
Comme dans l'exercice 1, les ensembles F1