Rapport du systeme lineair
LIU Liang January 11, 2011
Contents
1 Rappels de la partie I 2 Resolution du systeme lineaire 2.1 Methode de relaxation . . . . . . . . . . . . 2.2 Methodes de descente . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Methode du gradient a pas constant 2.2.2 Methode du gradient a pas optimal . 2.2.3 Methode du gradient conjugue . . . 3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 3 5 6
1 2
2.1
Rappels de la partie I Resolution du systeme lineaire
Methode de relaxation min J(xk+1 , xk+1 , . . . , xk+1 , x, xk , . . . , xk ) i+1 N 2 1 i−1 s∈R Pour minimiser
On peut trouver le xk qui mettre J(xk ) = 0. J(x) = 1 xT Ax − xT b 2 1 ⇒ J(xk ) = 2 (A + AT )x − b = Ax − b = 0
1 J(x) = 2 = 1 ai0 i0 x20 + i 2 i=i0 bi xi 1 = 2 ai0 i0 x20 + i i,j 1 2
aij xi yj − i=1 bi xi 1 j=i0 ai0 j xj + 2 i=i0 aii0 + ai0 j xj +
1 2 i=i0 ,j=i0
N
1 2
i=i0 ,j=i0
aij xi xj − bi0 xi0 − i=i0 bi xi
j=i0
aij xi xj − bi0 xi0 −
⇒
∂J(x) ∂xi0
= ai0 i0 xi0 +
j=i0
ai0 j xj − bi0 = 0
1
0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Fig2-1
−
P
⇒ xi0 =
k+1 ji0
ai0 j xk −bi0 j
ai0 i0
2.2
2.2.1
Methodes de descente
Methode du gradient a pas constant
1. Determiner le cout de cette methode a chaque etape(en nombre de multiplications) et le comparer a celui de la methode precedente. Dans le deuxieme etape, le cout de calculer le gradient gk = J(xk ) est N 2 , le cout de mettre a jour xk+1 = xk − βgk est N , donc le cout totale est N 2 + N 2. verifier le taux de convergence Sous Matlab, avec la fonction plot, on peut obtenir le graphic:(Fig2-1) 3. Quand β =
2 λ1 +λN
, ρ(B) = 1 − λ1 λN
2λN λ1 +λN
=
On sais aussi κ2 (A) =
, donc ρ(B) =
λ1 −λN λ1 +λN κ2 (A)−1 κ2 (A)+1
=
λ1 −λN λ1 +λN
=β
4. Programmer la fonction x= gradient(A, b, x0, beta, eps)