Recherche Opérationnelle: Rappels de Programmation Linéaire

Rafaël Lopez
LRI

Programmation Linéaire Qu'est-ce qu'un programme linéaire Exemple Hypothèses Intérêt pratique Interprétation géométrique et résolution graphique Résultat Les différentes formes d'un programme linéaire

Qu'est qu'un programme linéaire ? Un programme linéaire (PL) est un problème d'optimisation consistant à maximiser (ou minimiser) une fonction objectif linéaire de n variables de décision soumises à un ensemble de contraintes exprimées sous forme d'équations ou d'inéquations linéaires. A l'origine , le terme programme a le sens de planification opérationnelle mais il est aujourd'hui employé comme synonyme de problème (d'optimisation). La terminologie est due à G. B. Dantzig, inventeur de l'algorithme du simplexe.

Écriture mathématique

Terminologie Les variables x 1, ... , x n sont appelées variables de décision du problème La fonction linéaire à optimiser est appelée fonction objectif Les contraintes prennent la forme d'équations et d'inéquations linéaires. Les contraintes de la forme

sont appelées des contraintes de borne. Elles se résument souvent à des contraintes de non-négativité, et sont généralement traitées de manière spéciale par les algorithmes de résolution.

Exemple: un problème d'allocation de ressources Une entreprise produit des câbles de cuivre de 5 et 10 mm de diamètre sur une seule ligne de production imposant les contraintes suivantes.
Le cuivre disponible permet de produire 21000 mètres de câble de 5 mm de diamètre par semaine un mètre de câble de 10 mm de diamètre nécessite 4 fois plus de cuivre qu'un mètre de câble de 5 mm de diamètre

De plus, ayant une bonne connaissance de la demande, la production hebdomadaire de câble de 5 mm est limitée à 15000 mètres et la production de câble de 10 mm ne doit pas dépasser les 40% de la production totale. Les câbles sont vendus respectivement 10 € et 40 € le mètre.

Que doit produire l'entreprise