Chapitre 1 Modelisation
1.1
1.1.1

Exemples de Probl`mes e
La Caf´taria e

Caf´taria ouverte toute la semaine. e Statistique sur le personnel requis : Jour Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Dimanche Nombre 14 13 15 16 19 18 11 Un employ´ travaille 5 jour d’affil´e puis a deux jours de repos. e e Probl`me : nombre minimal d’employ´ requis. e e Quelles inconnues : – xi le nombre d’employ´s le jour i. Pas pratique : comment d´finir le nombre d’eme e ploy´s ? e e – xi le nombre d’employ´s qui commencent le jour i. Mod`le : e i=7 Σi=1 xi est le nombre d’employ´s ` minimiser : fonction objectif e a Les contraintes : (i) Le nombre de travailleurs commencant leur service est positif ou nul : xi ≥ 0 i = 1, . . . , 7 (ii) Les xi sont des entiers. (iii) Pour chaque jour le nombre de travailleur est sup´rieur ou ´gal ` celui requis. Le jour e e a i, le nombre de travailleurs est (en comptant modulo 7) : xi + xi−1 + . . . + xi−4 1

2 D’o` : u

CHAPITRE 1. MODELISATION

x1 + x7 + x6 + x5 + x4 x2 + x1 + x7 + x6 + x5 x3 + x2 + x1 + x7 + x6 x4 + x3 + x2 + x1 + x7 x5 + x4 + x3 + x2 + x1 x6 + x5 + x4 + x3 + x2 x7 + x6 + x5 + x4 + x3

≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥

14 13 15 16 19 18 11

Ce probl`me est un probl`me de programmation lin´aire en nombre entiers e e e Le probl`me peut se mettre sous la forme : e Max z = c.x A.x ≤ b x≥0 R´solution avec le logiciel Eclipse. e [eclipse 2]: {X1+X4+X5+X6+X7 >= 14, X1+X2+X5+X6+X7 >= 13, X1+X2+X3+X6+X7 >= 15, X1+X2+X3+X4+X7 >= 16, X1+X2+X3+X4+X5 >= 19, X6+X2+X3+X4+X5 >= 18, X6+X7+X3+X4+X5 >= 11, X1>=0, X2>=0, X3>=0, X4>=0, X5>=0, X6>=0, X7>=0, Z=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7}, minimize(Z). X1 = 4 X2 = X2 X3 = X3 X4 = X4 X5 = X5 X6 = 3 X7 = 0 Z = 22

` 1.1. EXEMPLES DE PROBLEMES % Linear constraints: { X5 = 7 - X4, X3 = 8 - X2, X4 =< 7, X2 =< 7, X4 - X2 =< 1, X4 >= 4 }Yes (0.01s cpu)

3

1.1.2

Probl`me de jeu e

Ciseau/Pierre/Papier e e Jeu ` somme nulle : Gain +1 si gagnant, perte -1 si perdu, 0 si ´galit´. a Tableau des gains/pertes