Recherche sur la conjecture de goldbach

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Conjecture de Goldbach : approches alg´brique et e g´om´trique bas´es sur les restes modulaires e e e
Denise Vella 1er Novembre 2008

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Introduction

La conjecture de Goldbach (1742) ´nonce que tout nombre pair 2a sup´rieur e e ou ´gal ` 4 est la somme de deux nombres premiers p et q. Le nombre p et e a le nombre q sont appel´s des d´composants de Goldbach de 2a. Cette note e e pr´sentedeux visions de la conjecture de Goldbach, une vision alg´brique et e e une vision g´om´trique, toutes deux bas´es sur l’´tude des restes modulaires e e e e des entiers selon des modules premiers. Les d´composants de Goldbach d’un e entier pair 2a sont les nombres premiers inf´rieurs ou ´gaux ` a solutions de e e a syst`mes de congruence g´n´ralis´s d´coulant de cette repr´sentation. Enfin, sera e ee e e e pr´sent´e une conjecture portant sur le partage des d´composants de Goldbach e e e et qui donne ` penser que la possibilit´ d’une d´monstration de la conjecture de a e e Goldbach par r´currence pourrait ˆtre envisag´e. e e e

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Traitement alg´brique d’un exemple e

Dans une note pr´c´dente, on a pr´sent´ le choix que nous r´it´rons ici de e e e e e e repr´senter chaque entier parses restes selon les modules premiers successifs. e Int´ressons nous au nombre entier 40, dont on cherche les d´composants de e e Goldbach. On ne va s’int´resser qu’aux restes des entiers inf´rieurs ` 20 selon e e a les modules premiers inf´rieurs ` la racine de 40, i.e. selon les modules 2, 3 et 5. e a 40 est repr´sent´ par le triplet (0(2), 1(3), 0(5)). Puisque seuls les nombres pree e miers noncongrus ` 40 selon tous ces modules peuvent ˆtre d´composants de a e e Goldbach de 40, on cherche s’il existe des nombres premiers dont la repr´sentation e serait : – soit (1(2), 2(3), 1(5)), – soit (1(2), 2(3), 2(5)), – soit (1(2), 2(3), 3(5)), – soit (1(2), 2(3), 4(5)). Consid´rons le premier triplet (1(2), 2(3), 1(5)). Les solutions satisfaisant la e premi`re coordonn´e d’un tel triplet sontles nombres x strictement positifs e e tels qu’il existe y entier positif ou nul tel que l’´quation x − 2y − 1 = 0 admet e une solution (i.e. on cherche une solution qui soit forc´ment un nombre impair). e Les solutions satisfaisant ` la deuxi`me coordonn´e du triplet sont les nombres a e e x strictement positifs tels qu’il existe z entier positif ou nul tel que x−3z −2 = 0 1

admet une solution(on cherche un nombre qui soit non congru ` 1 mod 3, en a ´tant en l’occurrence congru a 2 mod 3). e ` Enfin, les solutions satisfaisant ` la troisi`me coordonn´e du triplet sont les a e e nombres x strictement positifs tels qu’il existe t entier positif ou nul tel que x − 5t − 1 = 0 admet une solution (on cherche un nombre qui soit non congru a ` 0 mod 5 en ´tant en l’occurrence congru ` 1 mod 5).e a Pour le premier triplet, on aboutit donc au syst`me d’´quations diophane e tiennes :   x − 2y − 1 = 0 x − 3z − 2 = 0  x − 5t − 1 = 0 Pour les deuxi`me, troisi`me et quatri`me triplets, on aboutit aux syst`mes e e e e d’´quations diophantiennes : e   x − 2y − 1 = 0 x − 3z − 2 = 0  x − 5t − 2 = 0   x − 2y − 1 = 0 x − 3z − 2 = 0  x − 5t − 3 = 0   x − 2y − 1 = 0 x − 3z − 2 = 0  x − 5t− 4 = 0 Le premier syst`me d’´quations admet (x = 11, y = 5, z = 3, t = 2) comme e e solution, 11 est d´composant de Goldbach de 40. e Le deuxi`me syst`me d’´quations admet (x = 17, y = 8, z = 5, t = 3) comme e e e solution, 17 est d´composant de Goldbach de 40. e

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G´n´ralisation e e

On peut g´n´raliser l’exemple pr´sent´ ci-dessus. Les syst`mes d’´quations e e e e e e diophantiennesque les nombres premiers d´composants de Goldbach d’un nombre e pair 2a doivent satisfaire contiennent des ´quations de la forme : e x − pi xi − Ci = 0, √ les pi ´tant les nombres premiers inf´rieurs ` 2a et les constantes Ci prenant e e a toutes les valeurs possibles qui soient ` la fois diff´rentes de 0 et diff´rentes du a e e reste de 2a modulo pi . Reste ` prouver (sic !) pourquoi il existe...
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