exercices sur la récurrence.

TS

Corrigé des exercices sur la récurrence.
Exercice n°1.
3
3
3
Démontrer : pour tout n1, 1 2 ...n =

n 2  n12
2
=1 2 ...n
4

Démonstration.
La deuxième égalité est une conséquence directe de la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique. Allez voir ce cours.
Pour la première, on appelle
Initialisation
2
1
×2 2
3
donc
1 =
4

P n la proposition : 13 23 ...n3 =

n 2  n12
4

P 1 est vraie.

Hérédité.
On suppose P n vraie.

n2 n12
n13 En appliquant
4
n 2 n12 4 n13
13 2 3 ...n3  n13=
4
2
 n1  n2 4 n1
=
4
2
2
 n1  n 4 n4
=
4
2
 n1  n2 2
=
4
P n1 est vraie.

13 23 ...n3 n13 =

P n .

Conclusion.
Pour tout n1, P n est vraie.
Exercice n°2.
Démontrer : pour tout n∈ℕ, 4 n2 est divisible par 3. ( a divisible par 3 s'écrit : a = 3 q )
Démonstration.
On appelle P n la proposition : 4 n2 est divisible par 3.
Initialisation
4 0 2 =3 donc P 0 vraie.

1 sur 3

exercices sur la récurrence.

TS

Hérédité.
On suppose P n vraie. Donc que 4 n2 =3 p ou encore 4 n=3 p−2
4 n12 =4 n×4 2 =3 p−2×4 2 =12 p−6 =3 4 p−2
Donc P n1 est vraie.
Conclusion.
Pour tout n0, P n est vraie.
Exercice n°3.
Démontrer : a0, pour tout n∈ℕ * ,1 a n 1 na.
Démonstration.
On appelle P n la proposition :

a0, n∈ℕ * , 1 a n1 na.

Initialisation
1 a1 a donc

P 1 est vraie.

Hérédité.
On suppose P n vraie. a0 donc 1 a0 et 1 a n1=1 a n 1a 1 na1a en appliquant P n
1 a n11 na 1a =1 naana 2 =1 n1 ana 2 1 n1 a ( na 2 0 )
Donc P n1 est vraie.
Conclusion.
Si a0, pour tout n∈ℕ * ,1 a n 1 na.
Exercice n°4.
Soit u la suite définie par u 0 =2 et u n1=2 u n−3 a_ Calculer u 1 −u0 , u2 −u 1 , u 3 −u 2 , u4 −u 3 , u 5 −u 4 . b_ Conjecturer une écriture de u n en fonction de n ( une piste, suite géométrique). c_ Démontrer cette conjecture. a_ u 1 −u0 =−1, u 2 −u1 =−2, u3 −u 2 =−4, u 4 −u3 =−8, u 5 −u4 =−16
On