Reseau echelette

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  • Publié le : 25 mars 2011
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R´seau ´chelette. e e
Ce type de r´seau par r´flexion a un profil d’escalier dont les marches ont une longueur a et une e e hauteur h. Seules les marches sont r´fl´chissantes ; les contre-marches ne le sont pas. Les marches ont, e e perpendiculairement ` la figure, une largeur grande devant a. Ce r´seau est ´clair´ par une source a e e e monochromatique en forme de fente tr`s mince perpendiculaireau plan de figure ; on sait dans ce cas e que la diffraction se ram`ne ` un probl`me plan dans le plan de figure. La fente est ` l’infini dans une e a e a direction faisant l’angle i avec la normale aux marches et l’on cherche, en fonction de la direction des rayons r´fl´chis (d´finie par l’angle r), l’intensit´ de la figure de diffraction ` l’infini. e e e e a

Question 1 : Avant tout calcul, que peut-ondire de la figure de diffraction ? On est ici dans un contexte de diffraction par un ensemble de motifs tous identiques. Dans ce cas la fonction donnant l’intensit´ en fonction de la position est produit de deux fonctions : e – la premi`re est la fonction qu’on obtiendrait avec un seul motif, soit ici celle de la tache de e diffraction d’une fente rectangulaire longue, donc un sinus cardinal aucarr´, e – la seconde est celle obtenue avec des motifs devenus ponctuels au milieu de chaque motif large, donc ici un r´seau form´ d’un grand nombre de points ´quidistants, fonction qu’on sait ˆtre nulle e e e e partout sauf dans les directions o` la diff´rence de marche entre deux points successifs est un u e nombre entier de longueurs d’onde. Question 2 : Calculer la diff´rence de marche entre le rayonde r´f´rence se r´fl´chissant au milieu e e e e e O0 de la premi`re marche (on num´rote ` partir de z´ro) et un rayon quelconque se e e a e r´fl´chissant en un point M de la ki`me marche de milieu Ok ; on notera ξ la distance e e e alg´brique Ok M , le sens positif ´tant dans le sens de la num´rotation croissante des e e e marches. Le calcul est de routine. On note S la source et P le point `l’infini dans la direction d’angle r. a ∆ = [SM P ] − [SO0 P ] = ([SM ] − [SO0 ]) + ([M P ] − [O0 P ]) = KM − O0 H en appliquant le th´or`me de Malus en amont et, en imaginant une source fictive en P , en aval. e e → → Introduisons les vecteurs unitaires − de la direction incidente (donn´e) et − de la direction de r´flexion u0 e u e (variable du probl`me). KM et O0 H sont les projections de O0 M sur lesrayons incident et r´fl´chi, e e e donc −− − −− − −→ → −→ → ∆ = O0 M · u0 − O0 M · u → → Introduisons les vecteurs unitaires − et − des axes O0 x et O0 y d´finis par la figure. On a ex ey e − = sin i − − cos i − → → → u0 ex ey → − = sin r − + cos r − → → u ex ey

−− −→ − − − → −− −→ → → → O0 M = O0 Ok + Ok M = k (a − − h − ) + ξ − ex ey ex d’o` u ∆ = k [a (sin i − sin r) − h (cos i + cos r)] + ξ (sin i− sin r) Pour all´ger la r´daction de la suite, posons e e δ = a (sin i − sin r) − h (cos i + cos r) Le d´phasage entre les deux rayons est donc e ϕ = 2π ∆ kδ + αξ = 2π λ λ et α = (sin i − sin r)

Question 3 : Retrouver la factorisation de la question 1 ` partir du principe de Huygens-Fresnel et a indiquer, sans calcul, les valeurs de sin r correspondant aux points particuliers des deuxfonctions. On a droit ` une approximation l´gitim´e sur les cosinus. a e e Le principe de Huygens-Fresnel revient ` int´grer le facteur de phase exp ϕ sur tout la longueur du a e dispositif.
k=N k=N

σ(r) =

exp ϕ dξ =
dispositif k=N k=0

exp ϕ dξ =
marche k k
a 2

a 2

exp 2  π

k=0

−a 2

kδ + αξ λ



σ(r) =
k=0
a 2

δ exp 2  π λ exp 2  π αξ λ

exp 2  π
k=N

−a2

αξ λ

dξ δ λ
k

σ(r) =


k=0

exp 2  π

−a 2

On retrouve la factorisation annonc´e pour σ(r) et donc pour I(r) = |σ(r)|2 . L’int´grale conduit ` e e a 2 (π α a ) dont le maximum est atteint pour un argument nul soit α = 0 et sin r = sin i, soit r = i. un snc λ Notons au passage que l’on retrouve le fait que la tache de diffraction est centr´e dans la direction e de...
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