Formulaire de math´matiques - BTS : Groupement D e
Analyses Biologiques - Biochimie - Biotechnologies - Hygi`ne, propret´, environnement - M´tiers de l’eau - Peintures, encres et e e e adh´sifs - Plastiques et composites - Qualit´ dans les industries alimentaires et les bio-industries. e e Plusieurs r´sultats figurant dans ce formulaire ne sont pas au programme de TOUTES les sp´cialit´s de BTS e e e appartenant ` ce programme a 1. RELATIONS FONCTIONNELLES ln(ab)=ln a + ln b, o` a > 0 et b > 0 u eit = cos t + i sin t exp(a+b) = exp a × exp b t =e α α ln t 1 2 1 2i

cos t = sin t =

eit + e−it , ch t = eit − e−it , sh t =

, o` t > 0 u

1 2 1 2

(et + e−t ) (et − e−t )

cos(a+b)=cos a cos b - sin a sin b sin(a+b)=sin a cos b + cos a sin b cos(2t) = 2 cos2 t − 1 = 1 − 2 sin2 t sin(2t)=2 sin t cos t

eat = eαt (cos(βt) + i sin(βt)), o` a = α + iβ u

2. CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL a. Limites usuelles Comportement ` l’infini a t→+∞ Comportement ` l’origine a t→0 lim ln t = +∞

lim ln t = −∞ t→0 t→0

t→+∞

lim et = +∞

Si α > 0, lim tα = 0 ; si α < 0, lim tα = +∞ Si α > 0, lim tα ln t = 0. t→0 t→−∞

lim et = 0

Si α > 0, lim tα = +∞ ; si α < 0, lim tα = 0 t→+∞ t→+∞

Croissances compar´es ` l’infini e a Si α > 0, lim Si α > 0, lim et = +∞ t→+∞ tα ln t =0 tα

t→+∞

b. D´riv´es et primitives e e Fonctions usuelles f (t) f (t) ln t et tα (α ∈ R) sin t cos t
1 t

f (t) tan t Arc sin t

f (t) 1 = 1 + tan2 t cos2 t 1 √ 1 − t2 1 1 + t2 aeat

et αtα−1 cos t -sin t Arc tan t eat (a ∈ R)

Op´rations e (u + v) = u + v (ku) = ku (uv) = u v + uv (ln u) = 1 u u v =− = u u2 (ua ) = aua−1 u u v − uv v2 u , u ` valeurs strictement positives a u (v ◦ u) = (v ◦ u)u (eu ) = eu u

c. Calcul int´gral e Valeur moyenne de f sur [a,b] : b 1 f (t)dt b−a a d. D´veloppements limit´s e e et = 1 + t t2 tn + + ... + + tn (t) 1! 2! n! t t3 t5 t2p+1 − + + ... + (−1)p + t2p+1 (t) 1! 3! 5! (2p + 1)! t4 t2p t2 + + ... + (−1)p + t2p (t) cos t = 1