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Correction du Devoir Maison Ch 4 : Théorème de Thalès


Présentation : 1 point
Rédaction : 1 point

Exercice 1 (3 points) Sujet de Brevet des collèges
Académies de Aix-Marseille, Corse, Montpellier,
Nice, Toulouse 2005
Sur le dessin ci-contre, les droites (AB) et
(CD) sont parallèles, les points A, C, O, E sont
alignés ainsi que les points B, D, O, F.
(On ne demande pas de refaire ledessin)
De plus, on donne les longueurs suivantes :
CO = 3 cm, AO = 3,5 cm, OB = 4,9 cm
CD = 1,8 cm, OF = 2,8 cm et OE = 2 cm.
1) Calculer (en justifiant) OD et AB. (2 pt)
Les points O, A et C sont alignés ainsi que les points O, B et D.
De plus les droites (AB) et (CD) sont parallèles, on en déduit, d’après le théorème de Thalès, que : [pic] ou bien : [pic].
On déduit de l’égalité[pic] que OD = [pic]= 4,2 cm.
On déduit de l’égalité [pic] que AB = [pic]= 2,1 cm.
2) Prouver que les droites (EF) et (AB) sont parallèles. (1 pt)
[pic]= 1,75 et [pic]= 1,75.
Les points A, O et E sont alignés dans le même ordre que les points B, O et F.
De plus on a [pic].
Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AB) sont parallèles.


Exercice 2 (3 points)Sujet de Brevet des collèges
Académies de Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans, Tours, Poitiers, Rennes 2006
La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur.
On ne demande pas de la reproduire.
Les points A , C et E sont alignés ainsi que les points
B, C et D.
Le triangle ABC est rectangle en B.
Les longueurs suivantes sont exprimées en cm.
BC = 12 ; CD = 9,6 ; DE =4 ; CE = 10,4.

1) Montrer que le triangle CDE est rectangle en D. (1 pt)
CD2 + DE2 = 9,62 + 42 = 92,16 + 16 = 108,16 et CE2 = 10,42 = 108,16.
On a CD2 + DE2 = CE2 donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE est rectangle en D.
2) En déduire que les droites (AB) et (DE) sont parallèles. (0,5 pt)
Par construction, la droite (AB) est perpendiculaire à la droite(BD).
D’après le résultat de la question 1), la droite (DE) est perpendiculaire à la droite (BD).
Finalement les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires à une même troisième droite : (BD) donc elles sont parallèles.
3) Calculer la longueur AB. (1,5 pt)
Les points A, C et E sont alignés ainsi que les points B, C et D.
De plus les droites (AB) et (DE) sont parallèles, on en déduit, d’aprèsle théorème de Thalès, que : [pic] ou bien : [pic].
On en déduit que AB = [pic]= 5 cm.

Exercice 3 (3 points) Sujet de Brevet des collèges – Académie de Nantes 2000
La figure ci-dessous représente un champ rectangulaire ABCD traversé par une route de largeur uniforme (partie coloriée).
[pic]
On donne :
AB = 100 m ; BC = 40 m ; AM = 24 m.
Les droites (AC) et (MN) sont parallèles.Calculer :
1) La valeur arrondie au décimètre près de la longueur AC. (1 pt)
D’après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ADC, on a :
AC2 = AD2 + DC2 d’où AC2 = BC2 + AB2 = 402 + 1002 = 1600 + 10000 = 11600.
On en déduit que AC = [pic][pic] 107,7 m.
2) La longueur MB. (0,5 pt)
Comme les points A, M et B sont alignés dans cet ordre, on a : AB = AM + MB d’où
MB = AB – AM =100 – 24 = 76 m.
3) La longueur BN. (1,5 pt)
Les points B, M et A sont alignés ainsi que les points B, N et C.
De plus les droites (MN) et (AC) sont parallèles, on en déduit, d’après le théorème de Thalès, que : [pic] ou bien : [pic].
On en déduit que BN = [pic]= 30,4 m.

Exercice 4 (4 points) Sujet de Brevet des collèges
Académie de Besançon, Dijon, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg1998
Un cerf-volant a la forme du quadrilatère PAFC ci-dessous.




PA = PC = 2 m.
FA = FC = 1,5 m.
[pic] = 90°.

1) Faire une représentation du quadrilatère PAFC à l’échelle 1/20e. (1 pt)
2 m = 200 cm et [pic] donc, à l’échelle 1/20e, 2 m est représenté par 10 cm.
1,5 m = 150 cm et [pic] donc, à l’échelle 1/20e, 1,5 m est représenté par 7,5 cm.
[pic]

2) Démontrer que la...
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