Roc maths terminale s

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ROC: Restitution Organisée des Connaissances ∗
Terminale S Septembre 2005

Table des matières
1 Analyse 1.1 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . .1.6 Propriétés des fonctions logarithme et exponentielle 1.6.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . 1.6.2 Le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Primitive s’annulant en a . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Intégration Par Parties . . . . . . . . . . . . . . . . 2Géométrie 2.1 Module et argument d’un produit, d’un quotient 2.2 Second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Écriture complexe des transformations du plan . 2.4 Distance d’un point à un plan . . . . . . . . . . 2.5 Distance d’un point à une droite dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 4 5 7 9 9 10 12 14 16 18 19 19 21 22 23 24 25 25 26

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3 Probabilités 3.1 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Triangle de Pascal - Binôme de Newton . . . . . . . . . . .. . .
∗ A Ce document a été réalisé à l’aide de LTEX 2ε , un lociciel libre.

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Analyse
Théorème 1 Limites et ordre 1. Théorème des « Gendarmes » Si, pour x « assez voisin de a »(a fini ou infini), on a : u(x) f (x) v(x) et si u et v ont la même limite l en a, alors : lim f (x) = l
x→a

1.1 Limites et ordre

2. Cas d’une limite infinie Si, pour x « assez voisin de a »on a f (x)
x→ax→a

u(x), et si :

lim u(x) = +∞, alors lim f (x) = +∞ (Énoncé analogue pour −∞) Démonstration : Dans le cas où a = +∞ (c’est le cas qui figure au programme, la démonstration des autres cas ne pourra vous être demandée.) On considère un intervalle ouvert quelconque I contenant l. La fonction u a pour limite l en +∞ donc il existe un réel A tel que pour tout x ∈]A; +∞[ tous les nombres u(x)sont dans I. De même, pour la fonction v : On note B le réel tel que pour tout x ∈]B; +∞[ on a : v(x) ∈ I. On désigne par C le plus grand des nombres A et B. Alors pour tout x ∈]C; +∞[ on a : v(x) ∈ I et u(x) ∈ I. Or, on sait que u(x) ≤ f (x) ≤ v(x). Donc, nécessairement f (x) ∈ I Conclusion : f a pour limite l quand x → +∞

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1.2 Bijection
Théorème 2 dit de la « bijection » Soit f unefonction continue et strictement monotone sur [a, b], Alors, pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k a une solution unique dans [A, B].

Démonstration Nous allons établir le théorème dans le cas où f est strictement croissante. Le cas où f est décroissante sera facile à en déduire. On sait que f est une fonction continue sur [a, b]. Considérons le réel k compris entre f (a)et f (b). D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel α tel que : f (α) = k Supposons qu’il existe réel β tel que β α et f (β) = k Si β > α, alors f (β) > f (α) (On sait que f est strictement croissante). et donc : f (β) k Contradiction. La supposition est donc fausse, et le réel α est unique. On procède de même si β < α. D’où le résultat.

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1.3 Fonction composéeThéorème 3 Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et g une fonction définie et dérivable sur un intervalle J tel que pour tout x ∈ I on ait u(x) ∈ J. alors la fonction f = g ◦ u est dérivable sur I et on a pour tout x ∈ I : f (x) = g (u(x)) × u (x) En résumé, on note (g ◦ u) = g ◦ u × u Démonstration : Note importante : les commentaires officiels du programme précisent : « le...
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