Rousseau

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  • Publié le : 17 avril 2011
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FORMULE D'INVERSION DE PASCAL
        ¡

Soient (ai) 0

i n

et (bi) 0

i n

des familles d'éléments d'un anneau commutatif A tels que :
p k =0
¢ ¡

ap = Alors :
p

k C p bk ∀p ∈ 0, n

k =0

Preuve par récurrence : On considère la propriété ℘(p) suivante définie pour p ∈ 0, n :
j
¢ ¡

k =0 p

• D'après la relation ap =
k =0

k C p bk particularisée avec p = 0, onobtient : a0 = b0. D'où ℘(0).

• Montrons que : ∀p ∈ 0, n − 1 , ℘(p) Soit p ∈ 0, n − 1 . Supposons donc : bj =
¢ ¢ ¡

℘(p + 1)
j k =0
p +1 p j C p + 1b j

Nous savons que :

ap+1 =
j=0

=
j=0 p

j C p + 1b j + bp+1

D'où :

bp+1 = ap+1 −
j=0 p j j C p +1 j=0

j C p + 1b j

Et d'après notre hypothèse :

bp+1 = ap+1 −

( −1) j − k C k a k j k
£ £

k =0

p

pbp+1 = ap+1 −
k =0 j = k

j ( −1) j − k C p +1C k a k j

Or :

j C p +1C k = j

( p + 1)! j! ( p + 1)! ( p + 1 − k )! p + 1− k × = × = C p +1C p + 1− kj j !( p + 1 − j )! k !( j − k )! k !( p + 1 − k )! ( p + 1 − j )!( j − k )!
p p k C p +1a k k =0 j=k

D'où :

bp+1 = ap+1 −

p + 1− ( −1) j − k C p +1− kj

Or, par translation d'indice de sommation :
p

( −1)
j=k

j−k

p + 1−C p +1− kj

p− k

=
j=0

p + 1− k ( −1) j C p + 1− k − j

p + 1− k j Et comme : C p +1− k − j = C p +1− k , on déduit :

Formule d'inversion de Pascal

Page 1

£

Nous pouvons modifier l'ordre des sommations (tenant compte des conditions : 0

¢

( −1) j − k C k ak ∀j ∈ 0, p j
¡

¢

¡

℘(p) : bj =

( −1) j − k C k a k ∀j ∈ 0, p j

¢

¡

bp =

k ( −1) p − k C pa k ∀p ∈ 0, n

j

p) :

G. COSTANTINI

p

p−k k C p +1a k j ( −1) j C p + 1− k j=0 p + 1− k

bp+1 = ap+1 −
k =0 p

bp+1 = ap+1 −
k =0 p + 1− k

k C p +1a k j=0

j ( −1) j C p + 1− k − ( −1) p +1− k

Et d'après la formule du binôme :
j=0

j ( −1) j C p + 1− k = 0 d'où :

p

bp+1 = ap+1 +
k =0 p +1

k ( −1) p +1− k C p +1a k

bp+1 =
k =0 j

k ( −1) p +1− k C p+1a k

k =0

C'est-à-dire ℘(p + 1). On en déduit, d'après le principe de récurrence :
¢

℘(p), ∀p ∈ 0, n
j

k =0

Ce qui achève la démonstration.

Preuve en inversant la matrice des coefficients binomiaux :
a0 a1 b0 b1
p k C p bk ∀p ∈ 0, n se traduit alors matriciellement par : k =0
¢ ¡

Notons An = a2 et Bn = b2 . La relation ap =
an bn

1 1
An = MnBn avec Mn =

0 1 20 0 1

0 0 0

0 Cn

1 2 Cn Cn

Les matrices Mn sont triangulaires, de déterminant 1, donc inversibles. En inversant Mn, on déduira une
£ £ £ £

expression des bp (0

p

n) en fonction des ap (0

p

n). Or, d'après la formule du binôme de Newton, on a

Formule d'inversion de Pascal

Page 2

£

¡ ¢     

1

¢

¡

Et en particulier ℘(n) :

bj =

( −1) j − k C ka k ∀j ∈ 0, n j

¢

On a donc :

¡

bj =

( −1) j − k C k ak ∀j ∈ 0, p + 1 j

¡

 

 

0 0 0 0
n Cn

G. COSTANTINI

1 1+ X (1 + X ) (1 + X )
2

1 1 = 1

0 1 2

0 0 1

0 0 0

0 0 0 0
n Cn

1
X X2 Xn

n

0 Cn

1 Cn

2 Cn

1
X

1 1+ X

Xn
£ £

(1 + X ) n

− Pour déterminer M n 1 , on décompose Xp (0

p

n) dans la base (1, (1 + X), (1 +X)2, ..., (1 + X)n) :

Pour cela, il suffit d'écrire :
p

X = (1 + X − 1) =
p p

C k (−1) p − k (1 + X ) k p
0 0 0 0 0 0 0 0 0 n Cn

k =0

1 −1

0 1 −2
1 (−1) n −1 Cn

0 (−1) n Cn

2 (−1) n − 2 Cn

En conséquence :
p
¡

k =0 p

Exemple : démontrer :
k =0

(−1) p − k C k 2 k = 1 p

Application 1 : nombre de surjections d'un ensemble de cardinal n sur un ensemble decardinal p.
   

Soit X un ensemble de cardinal n ∈

*

et Y un ensemble de cardinal p ∈

On note S(n, p) le nombre de surjections de X sur Y. Recherchons une expression de S(n, p). Pour cela, dénombrons de deux façons différentes le nombre d'applications ƒ de X dans Y. Soit ƒ une application de X dans Y. Pour chacun des n éléments de X, nous pouvons associer l'un des p éléments de Y....
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