Résolution pratique des équations aux dérivées partielles David Manceau

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TABLE DES MATIÈRES

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Table des matières
Introduction

7

1 Exemples classiques d’e.d.p.
1.1 Modélisation, mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Mouvement d’un fluide irrotationnel et incompressible .
1.1.3 Trafic routier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Classification des e.d.p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I

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Méthode des différences finies

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2 Problèmes elliptiques
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2.1 Problèmes elliptiques 1d, approche formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Justification des calculs : consistance, stabilité et convergence . . . . . . . 22
2.3 Problèmes elliptiques en dimension supérieure à 1 . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Problèmes hyperboliques
3.1 Définitions et solution explicite . . . . . .
3.2 Méthode numérique : approche formelle . .
3.3 Consistance, stabilité et convergence . . .
3.4 Étude de la stabilité par analyse de Fourier
3.5 Exemples de schémas . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Le schéma explicite centré . . . . .
3.5.2 Les schémas explicites décentrés . .
3.5.3 Le schéma de Lax . . . . . . . . . .
3.5.4 Le schéma implicite centré . . . . .
3.5.5 Le schéma de Lax-Wendroff . . . .

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4 Problèmes paraboliques
4.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Exemples de schémas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Le schéma explicite centré . . . . . . . . . . .