Révision de l’algorithme du simplexe

Forme standard
• Après avoir transformé les contraintes d’inégalité en égalités, nous retrouvons le problème sous sa forme standard où certaines variables peuvent être des variables d’écart: min Sujet à

z = c1x1 +c2x2 +... +cnxn a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
.

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.

.

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a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = b m

x1 , x 2 , ..., x n ≥ 0

min z
Sujet à a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n

= b1

a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n
.

.

.

= b2
.

.

.
.
. a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n

= bm

c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n − z = 0

x1 , x 2 , ..., x n ≥ 0

Simplexe –forme avec tableaux
Itération typique
• Décrivons une itération typique pour résoudre le problème général avec le simplexe – forme avec tableaux
• Le système

+ a 1m +1 x m +1 + ... + a 1s x s + ... + a 1n x n = b1

x1 + x2 +
.

+ a 2 m +1 x m +1 + ... + a 2 s x s + ... + a 2 n x n = b 2
.

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x r + + a rm +1 x m +1 + ... + a rs x s + ... + a rn x n = b r
.

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x m + a mm +1 x m +1 + ... + a ms x s + ... + a mn x n = b m c m +1 x m +1 + ... + c s x s + ... + c n x n = z − z

Itération typique peut être représenter dans le tableau suivant

–

Étape 1: Choix de la variable d’entrée

{ }

• En se référant à la dernière ligne du tableau, soit c s = min c j
1≤ j ≤0

Si c s ≥ 0, alors la solution courante est optimale et l’algorithme s’arrête

Variable d’entrée

Si c s < 0, alors xs est la variable d’entrée

–

Étape 2: Choix de la variable de sortie xi = bi − ais xs ≥ 0
Si a is ≤ 0 ∀ 1 ≤ i ≤ m le problème n’est pas borné et l’algo. s’arrête

Variable d’entrée

Si ∃ i tel que a is > 0 alors la sol. demeure réalisable
∀ i tel que a is > 0 xi = b i − a is x s ≥ 0 ⇔ x s ≤

bi a is

La variable d’entrée xs prend la valeur
 b i

br xs =
= min 
: a is > 0