Fiche Cours

Nº : 32011

MATHEMATIQUES

Série S

Fiche 11 : Arithmétique
Plan de la fiche
I - Divisibilité dans l’ensemble des entiers relatifs II - Division euclidienne III - Congruence modulo n (n entier au moins égal à 2) IV - PGCD de deux entiers relatifs non nuls V - Algorithme d’Euclide VI - Théorème de Bézout VII - Théorème de Gauss VIII - PPCM de deux entiers relatifs non nuls IX - Propriétés du PGCD et du PPCM X - Nombres premiers XI - Décomposition d’un entier naturel n en facteurs premiers

I - Divisibilité dans l’ensemble des entiers relatifs
Définition Soit a et b des entiers relatifs. Lorsqu’il existe un entier k tel que a = kb on dit que : • a est un multiple de b ; • b divise a ; • a est divisible par b ; • b est un diviseur de a. Propriété On considère des entiers relatifs a, b et d. Si d divise a et b, alors d divise toute combinaison linéaire αa + βb à coefficients entiers relatifs de a et b.  Méthode : « Déterminer les valeurs que peut prendre le PGCD de deux entiers dépendant de la variable n », fiche exercices n°11 « Arithmétique ».

II - Division euclidienne
Théorème et définition A tout couple (a, b) composé d’un entier relatif a et d’un entier strictement positif b est associé un unique couple (q, r) d’entiers relatifs tels que : a = bq + r et 0 ≤ r < b. Déterminer le couple (q, r) c’est effectuer la division euclidienne de a par b. Les entiers q et r sont respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de a par b. Exemples Le quotient et le reste dans la division euclidienne de 7 par 3 sont respectivement 2 et 1. Le quotient et le reste dans la division euclidienne de −7 par 3 sont respectivement −3 et 2.

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Il convient d’être méfiant dans l’usage des calculatrices pour ce qui concerne la division euclidienne d’un nombre négatif. Ainsi, avec une Ti92 : •