Un test de dépistage d’une maladie réagit positivement pour 99 % des individus malades et 1 % des individus non malades.
On note M : « l’individu est malade » et T : « l’individu réagit positivement au test ».
1) On suppose que, à in instant, la probabilité pour qu’un individu soit atteint de cette maladie est 0,05.
a) Calculer p(T) (on pourra s’aider d’un arbre).
b) Déterminer la probabilité qu’un individu soit non malade, sachant que le test est positif.
2) On suppose que la probabilité qu’un individu soit atteint de cette maladie est p.
a) Montrer que [pic].
b) Étudier le sens de variation de cette fonction.
La représenter dans un repère orthonormal, d’unité 10 cm, pour p [0 ; 0,5].
c) Déterminer pour quelles valeurs de p on a [pic].
Interpréter concrètement par une phrase le résultat.
3) Pour une autre maladie, un test de dépistage réagit positivement à 100 % sur les individus malades et à 5 % sur les non-malades.
a) Démontrer que la probabilité que l’individu ne soit pas atteint par cette maladie sachant que le test est positif est donné par : [pic] où p est la probabilité qu’un individu soit atteint par cette maladie.
b) Étudier le sens de variation de cette fonction. La représenter dans le repère précédent.
c) On estime un test convenable si cette probabilité est inférieure à 5 %.
Pour quelles valeurs de p ce test est-il convenable.

Dans un laboratoire de fabrication de résistances une étude a montré que la probabilité pour qu’une résistance tirée au hasard soit défectueuse est de 0,002. Une entreprise achète un lot de 1000 résistances. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de résistances défectueuses du lot.
1) Quelle est la loi de probabilité suivie en toute rigueur par X ? Préciser ses paramètres.
2) On approche la loi de probabilité X par une loi de Poisson.
Préciser le paramètre de cette loi de Poisson. Donner la probabilité de l’événement X ( 2.

Sachant que X suit la loi normale N(100,0,4), calculer les