Second degré

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  • Publié le : 21 mars 2011
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Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions :
DÉFINITION

On appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c (a,b et c réels avec a = 0). Remarque : Par abus de langage, l’expression ax2 + bx + c est aussi appelée trinôme du second degré.
DÉFINITION

On appelle racine du trinôme f , tout réel qui annule f . Exemple : 1 est une racine dutrinôme 2x2 + 3x − 5, car 2(1)2 + 3(1) − 5 = 0. Remarque : Chercher les racines du trinôme ax2 + bx + c, revient à résoudre dans R l’équation ax2 + bx + c = 0.

2 Factorisation, racines et signe du trinôme :
DÉFINITION

On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c (a = 0), le réel ∆ = b2 − 4ac.

2-1 Si ∆ < 0 :
Racines : Pas de racines réelles. Factorisation : Pas de factorisation dans R.Signe : ax2 + bx + c est toujours du signe de a.

x ax²+bx+c
y
a>0

−∝ Signe de a

+∝

O

x

a0

x1 x

a 0 :

x ax²+bx+c
y

−∝ Signe de a
a>0

x1 Signe de (-a)

x2

+∝

Signe de a

x1 O

x2

x1

x2 x

a 0 et sont fermées si l’inéquation est de la forme · · · 0 ou · · · 0 .) Remarque : Si b = 0 ou c = 0, il est inutile d’utiliser le discriminant et lesformules associées. Les méthodes vues en Seconde sont plus simples et plus rapides : il suffit en général de factoriser et de faire un tableau de signes. Exemples nécessitant le calcul du discriminant : • Résolution dans R de l’inéquation x2 + 4x − 5 0 : (Par rapport aux formules, on a ici : a = 1, b = 4 et c = −5 ). Calcul du discriminant : ∆ = b2 − 4ac = (4)2 − 4(1)(−5) = 36. Le discriminant eststrictement positif, la règle est donc "signe de a à l’extérieur des racines". Il faut donc commencer par calculer les deux racines : √ √ √ √ −b − ∆ −4 − 36 −4 − 6 −b + ∆ −4 + 36 −4 + 6 x1 = = = = −5 x2 = = = =1 2a 2·1 2 2a 2·1 2 Signe du trinôme sur R : (ici a = 1 est positif, donc le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif à l’intérieur)

x x²+4x−5

−∝ +

−5 −

1 +

+∝Ensemble solution : les solutions de l’inéquation sont les x pour lesquels x2 + 4x − 5 est inférieur ou égal à 0. Cela revient à déterminer les x pour lesquels on a le signe − dans le tableau de signe. D’où, S = [−5; 1]. Ce qui peut se vérifier graphiquement :
y

−5

O

1 x

• Résolution dans R de l’inéquation −2x2 − 5x + 3 < 0 : (Par rapport aux formules, on a ici : a = −2, b = −5 et c = 3). Calcul du discriminant : ∆ = b2 − 4ac = (−5)2 − 4(−2)(3) = 49.
1S - Second degré
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Le discriminant est strictement positif, la règle est donc "signe de a à l’extérieur des racines". Il faut donc commencer par calculer les deux racines : √ √ −b − ∆ −(−5) − 49 5 − 7 1 = = = x1 = 2a√ 2(−2) −4 2 √ −b + ∆ −(−5) + 49 5 + 7 x2 = = = = −3 2a 2(−2) −4 Signe dutrinôme sur R : (ici a = −2 est négatif, donc le trinôme est négatif à l’extérieur des racines et positif à l’intérieur)

x −∝ −2x²−5x+3 −

−3 +

1/2

+∝ −

Ensemble solution : les solutions de l’inéquation sont les x pour lesquels −2x2 − 5x + 3 est strictement inférieur à 0. Cela 1 revient à déterminer les x pour lesquels on a le signe − dans le tableau de signe. D’où, S =] − ∞; −3[∪] ;+∞[. Ce qui peut se 2 vérifier graphiquement : y +
−3 O 1/2 x





• Résolution dans R de l’inéquation −2x2 + 5x − 4 0 : (Par rapport aux formules, on a ici : a = −2, b = 5 et c = −4 ). Calcul du discriminant : ∆ = b2 − 4ac = 52 − 4(−2)(−4) = −7. Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe de a" , c’est à dire toujours négatif car a = −2. Signe du trinôme surR :

x −2x²+5x−4

−∝ −

+∝

Ensemble solution : les solutions de l’inéquation sont les x pour lesquels −2x2 + 5x − 4 est supérieur ou égal à 0, ce qui est / impossible vu le tableau de signe. D’où, S = 0 . √ • Résolution dans R de l’inéquation x2 + 2x + 1 > 0 : √ (Par rapport aux formules, on a ici : a = 1, b = 2 et c = 1 ). √ 2 Calcul du discriminant : ∆ = b2 − 4ac = ( 2) − 4(1)(1) =...