Chapitre 1 : Second degré
I. Fonctions polynômes du second degré
Définition :
On appelle fonction polynôme du second degré, ou plus simplement trinôme, toute fonction f définie sur de la forme f  x  = ax 2 + bx + c où a, b et c sont des réels appelés coefficients avec a  0 .
Tableaux de variations :

a >0

a <0

Courbes représentatives :

a >0

a <0

Vocabulaire :
Dans un repère, la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole. Remarque :
Cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.

II. Forme canonique
Propriété :
Un trinôme f  x  = ax 2 + bx + c peut toujours s’écrire sous la forme f  x  = a  x -   +   a  0  appelée forme canonique avec  = 2

b et 2a

- b 2 + 4ac
.
=
4a
Démonstration :

b 

f  x  = ax 2 + bx + c = a  x 2 + x  + c a 

2

b 

On reconnaît dans les parenthèses le début d’une identité remarquable  x +
 .
2a 

2

b  b b2

2
2
En effet  x +
 = x + x + 2 alors x +
2a  a 4a

donc
2
2

b  b2  b 

f  x  = a  x +
+
c
=
a x +



 2a 
4a 2 
2a 


- b 2 + 4ac b Si on pose  = et  =
, on obtient
4a
2a

2

b b  b2  x = x +
 - 2 a 2a 
4a

2

b2 b 
- b 2 + 4ac

+ c = ax +
+

4a
2a 
4a
 f  x  = a  x -  +  .
2

Remarque :
Le sommet de la parabole représentative de la fonction trinôme f a pour coordonnées
S   ;  .
Définition :
Le nombre réel b2 - 4ac , noté  , est appelé discriminant de f.

III.

Equation du second degré

Théorème :
Le nombre de solutions de l’équation ax 2 + bx + c = 0 dépend du signe de son discriminant. -b- 
 Si  > 0 alors l’équation admet deux solutions distinctes : x1 = et 2a
-b+ 
.
x2 =
2a
b
 Si  = 0 alors l’équation admet une unique solution : x 0 = .
2a
 Si  < 0 alors l’équation n’admet aucune solution.

Démonstration :
2
2

b 

b 
 

On sait que f  x  = a  x +
=
a x +





2a 
4a
2a 
4a 2 


2


2

b 


 = a  x + b +   x + b -   .
 Si  > 0 alors f  x