e fouCHAPITRE 3 SERIES DE F OURIER
3.1 Séries trigonométriques
Définition 3.1.1 On appelle série trigonométrique réelle, toute série de fonctions de la forme : a0 + 2
∞

an cos(nωx) + bn sin(nωx) n=1 (1)

avec x ∈ R, ω > 0 , an , bn ∈ R, pour tout n dans N. Le problème est de déterminer l’ensemble ∆ tel que la série (1) soit convergente pour tout x ∈ ∆. Remarque 3.1.1 Supposons que la série (1) converge et posons a0 f (x) = + 2
∞

an cos(nωx) + bn sin(nωx). n=1 Sachant que pour tous n ∈ N et k ∈ Z : cos (nω(x + 2kπ/ω)) = cos(nωx + 2nkπ) = cos(nωx) sin (nω(x + 2kπ/ω)) = sin(nωx + 2nkπ) = sin(nωx). 2kπ , k ∈ Z. ω 2kπ Si la série (1) converge dans R, on aura f (x) = f x + et par suite la fonction f est ω périodique de période T = 2π/ω. En conclusion, les propriétés suivantes sont équivalentes : Alors la série (1) converge en tout point de la forme x + i) La série trigonométrique (1) converge dans R. ii) La série trigonométrique (1) converge dans [0, 2π/ω] . 41

SERIES DE F OURIER iii La série trigonométrique (1) converge dans [α, α + 2π/ω], ∀α ∈ R Proposition 3.1.1 Si les séries numériques an et bn sont absolument convergentes alors la série trigonométrique (1) est normalement convergente sur R ; donc absolument et uniformément sur R. Preuve : C’est évident puisque |an cos(nωx) + bn sin(nωx)| ≤ |an | + |bn |. Proposition 3.1.2 Si les suites numériques (an ) et (bn ) sont décroissantes et tendent vers 0, alors 2kπ la série trigonométrique (1) est convergente pour x où k ∈ Z. ω Preuve : C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement de montrer que les sommes suivantes sont majorées indépendamment de m et n. p=n p=n

S= p=m sin px

C= p=m cos px. 2kπ où k ∈ Z :

Commençons par calculer les sommes suivantes ; On a pour t p=n p=n p=n

Cn + iSn

= p=0 p=n

cos pt + i p=0 sin pt = p=0 (cos pt + i sin pt) 1 − ei(n+1)t 1 − eit 2 sin2 (n + 1) (n + 1) (n + 1) t − 2i sin t cos t 2 2 2 2 sin2