Series temporelles

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 5 (1034 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 25 juin 2010
Lire le document complet
Aperçu du document
On measuring correlation of financial time series with high-frequency data

WCDM04, Torino, 9-10 January 2004
Roberto Ren` o
reno@unisi.it

Dipartimento di Economia Politica, Universit` di Siena a

January 2004 – p.1/18

Introduction
Measuring linear correlation among assets is crucial in financial applications (e.g. Markovitz theory). The last decade witnessed the advent ofhigh-frequancy data. High frequency data are very peculiar: Unevenly sampled Microstructure effects Huge quantity of data

New econometric techniques are needed!

 

 

 

January 2004 – p.2/18

Measuring linear correlation
d We assume that p t is the solution of the following stochastic differential equation (SDE):

¡

¢

£

¤

dp t p0

µ t dt x

σ t dW t

¡

¢

¡

¢

¡¡

¢

Standard techniques need interpolation of the data to get an evenly spaced grid:

Sτn X Y

t

m 1



©

¥

¢

¥

 

¦

©

¡
t

¢
Yτn m

Xτn m

1

t

Xτn m

t

Yτn m

§

1











¨



 
t

¡ ¥

¢









January 2004 – p.3/18

The Fourier method
we adopt instead an estimator based onFourier analysis. We define the Fourier coefficients of the i-th component d pi in the usual way:

ai0

dp

1 2π



¡

¢

d pi t
0 2π

¥

¡

¢

aik d p

1 π

cos kt d pi t
0

bik d p

1 π



¡

¢

¡

¢

§ ¢

¡

¡

¢

¡
sin kt d pi t
0

¢
bk Σi j sin kt

and similar formulas hold for ak Σi j bk Σi j ; from the Fourier coefficients of Σi j , Σi jt can be obtained pointwise by the Fourier-Fejer inversion formula:

§ ¢

¡

¡

Σi j t

n

lim



k 0



n

¢

1

k n

ak Σi j cos kt

¡

¢



¡

¢

¡

¡

¢

¢

¡

¢





!¢

¥



¦

¡

§ ¢

¥

¥

¡

January 2004 – p.4/18

Computing the coefficients
Theorem
N π 1 i j ak d p a k d p 1 n0 k∑0 2 n

"

a0 Σi jN

lim



N

j bik d p bk d p

¥





¦

aq Σi j

N

lim



N

j bik d p bk

q

dp dp

j bk d p bik

q

dp dp

¦

¦

bq Σi j

N

lim



N

bik d p ak

j

q

dp

bk d p aik

j

q

dp

¦

¦

$

$

January 2004 – p.5/18

¢# ¡

N π 1 1 n0 k∑0 2 n

"

j aik d p bk

$

q

j ak d p bik

¡

¢

¡

¢¡

¢

¡

¢

¦

¡
q

$

¥





¦



¡

¢

¡

$

¢

¡

¢

$

¦

¢

¢# ¡

N π 1 1 n0 k∑0 2 n



"

j aik d p ak

¦

q

dp

j ak d p aik

¡

¢

¡

¢

¡

¢

¡

¢

¦

¡
q

dp

¥





¦



¡

¢

¡

$

¢

¡

¢

$

¦

¢

¢#

¡

¢

¡

¢

¡

¢

¡

¢

¡ Implementation
The coefficients of d p are computed via integration by parts:

ak d p i

1 π



cos kt d pi t
0

p 2π

p0

π

k π



¡ ¡ ¢ ¡ ¢ 

¢

¡

¢

¡

¢

¡
sin kt pi t dt
0

¢

¥

¥

In financial markets, pi t is not observed continuously, but it is unevenly sampled in the form of tick-by-tick observations, pi tk k 1 T . Thus, we need to make an assumptionon the interpolation of prices when computing the integrals; we use pt p t j where t j is the largest observation time before t . For all computations, we set n0 1.

§ ¢ ¥

¡

¡

¢

¥

¡

¢

§

§

¡

¢

¥



¡

¢

January 2004 – p.6/18

Monte Carlo experiments
We simulate two correlated asset price diffusions with the bi-variate continuous GARCH(1,1) model:d p1 t d p2 t dσ2 t 1 dσ2 t 2 corr dx1

σ1 t dx1 t σ2 t dx2 t λ1 ω1 σ2 t dt 1 λ2 ω2 σ2 t dt 2 d x2 ρ

¡

¢

¡ ¡

¢ ¢

¡ § ¢ § ¢ ¢

¡

¢

¥ ¥

¡

¡

2λ1 θ1 σ2 t dx3 t 1 2λ2 θ2 σ2 t dx4 t 2

¡

¢



¡ ¡

¢ ¢

¡

§

and all other correlations between Brownian motions x1 t x2 t x3 t x4 t set to zero. We extract observation times drawing the durations from...
tracking img