Bases mathématiques

A. Exponentielles complexes

a. Fonction exponentielle:

[pic] b. Propriétés

[pic] 1. Nombres complexes

Soit [pic]. Soit [pic], tel que [pic]. Fixons [pic] et [pic] l’angle dont sa tangente est égal à [pic]. On a donc [pic] On peut représenter w sur le plan complexe en identifiant l’axe des ordonnées avec i. On a alors[pic]. Et, avec la notation antérieure on peut écrire[pic], où[pic].

À partir de la définition on peut constater [pic] Cette fonction est appelée l’exponentielle complexe. 2. Intégrales : On la définit comme l’application linéaire
[pic] Où[pic]. Et l’intégrale définie[pic].

3. Espaces de produit interne (Espaces de Hilbert) : Soit H un espace de fonctions (possiblement un espace des vecteurs). Soient f et g deux éléments appartenant à H. On définit un produit interne comme une application , tel que =a+b et =,. On définit ||f||=[pic] la norme de f dans H. Cette quantité exprime l’énergie de la signale : plus grande la norme plus grande la pression de l’onde originale et donc plus audible.

Si f,et g sont tels que =0 on dit que f et g sont orthogonales. Dans ce cas on a =+, c’est à dire, l’équivalent au Théorème de Pythagore.

4. Bases : Soit {[pic]} une collection des fonctions tels que [pic] pour m différent de n et [pic] pour chaque m. Alors si l’on suppose que chaque fonction dans H peut s’exprimer comme une combinaison linéaire des fonctions [pic], on appelle {[pic]} une base. Dans ce cas on a

[pic]
Cette représentation de la fonction g est appelée la représentation de Fourier. Par l’orthogonalité des fonctions [pic] on a
[pic]
et si
[pic]
alors =+ par Pythagore où tends vers 0, lorsque m tend vers l’infinie par convergence de la série. Ceci implique que l’énergie de la signal différence g(-m) est de plus en plus petite lorsque m tend vers l’infinie, et on entend de moins en moins la