Exercice 2 : Le tableau suivant représente la Table de Pythagore. Il rassemble toutes les tables de multiplication de 1 à n. 1 2 3 4 ... 2 4 6 8 ... 3 6 9 4 8 12 ... ... ... ... ... ... ... n-1 ... ... ... ... ... ... n 2n 3n 4n ... ... n2

12 16 ... ... ... ...

n-1 ... n

2n 3n 4n

a) Calculer la somme de tous les termes du tableau précédent. b) Déterminer n pour que cette somme soit égale à 784, puis à 90 000.

1 2 3 4 ...

2 4 6 8 ...

3 6 9

4 8 12

... ... ... ... ... ... ...

n-1 ... ... ... ... ... ...

n 2n 3n 4n ... ... n2

12 16 ... ... ... ...

n-1 ... n

2n 3n 4n

a ) On note : A1 la somme des termes de la 1ère ligne. A2 la somme des termes de la 2ème ligne. A3 la somme des termes de la 3ème ligne. ...etc... Alors : Ap est la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison p et de premier terme p. Donc : Ap = n x (p+np)/2 = np(n+1)/2 La somme Sn de tous les termes du tableau vaut donc :

Sn = A1 + A2 + ... + An Sn = n(n+1)/2 + 2n(n+1)/2 + ... + n x n(n+1)/2 Sn = (n(n+1)/2)(1 + 2 + ... + n) Or : 1 + 2 + ... + n = n(1+n)/2 (somme des termes consécutifs de la suite arithmétique (vn) de premier terme v 0 = 1 et de raison 1) Sn = ( n(n+1) / 2 ) ( n(1+n) / 2 ) Donc : Sn = (n(n+1)/2)2 b) Sn = 784 équivaut à n(n+1)/2 = 28 (car 282 = 784) Soit : n(n+1) = 56 On a alors une équation du 2nd degré : n2 + n - 56 = 0 Cette équation admet (-8) et 7 comme solutions. D'où : Sn = 784 pour n = 7 (car n doit être positif) De même : S n = 90 000 équivaut à n(n+1)/2 = 300 (car 3002 = 90 000) Soit après résolution de l'équation du 2nd degré obtenue : n = 24