Signe de la dérivée et variations de la fonction

1. Variations et signe
Théorème 7
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. • Si f est croissante sur I, alors f’(x) ≥ 0 pour tout x ϵ I. • Si f est décroissante sur I, alors f’ (x) ≤ 0 pour tout x ϵ I. • Si f est constante sur I, alors f’ (x) = 0 pour tout x ϵ I.

L’utilité de la fonction dérivée réside surtout dans le théorème réciproque suivant. .
Théorème 8 (admis)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. • Si f’ est nulle sur I, alors f est constante sur I. • Si f’ est strictement positive, sauf éventuellement en quelques points isolés où elle s’annule, alors f est strictement croissante sur I. • Si f’ est strictement négative, sauf éventuellement en quelques points isolés où elle s’annule, alors f est strictement décroissante sur I.

Remarque: Puisque le signe de la dérivée d’une fonction permet de connaître ses variations, on peut dès lors établir le tableau de variations de la fonction.

Pourquoi dérive-t-on les fonctions ? ➢ Connaître le signe de la dérivée d’une fonction, c’est connaître ses variations. ➢ Cela permet notamment d’encadrer (majorer et minorer) la fonction sur un intervalle donné.

2. Extremum local d’une fonction
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et, x0 ϵ I • On dit que f admet un maximum (respectivement minimum) local M en x0 s’il existe un intervalle ouvert J inclus dans I tel que M soit le maximum (respectivement minimum) de f sur J. • On appelle extremum local en x0, un maximum ou un minimum local, en x0.

Théorème 9 (admis)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 ϵ I. • Si f admet un extremum local en x0, alors f’(x0) = 0. • Si f’ s’annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x0.

Remarque:
La condition f’ s’annule en x0 n’est pas suffisante pour en déduire que f admet un extremum local en x0.
En effet, la