Simulation de la loi gaussienne

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  • Publié le : 24 mai 2011
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Introduction

La loi normale (ou de Laplace-Gauss) est la loi de certains phénomènes continus qui fluctuent autour d’une moyenne , de manière aléatoire. La dispersion des valeurs observées d’un même caractère gaussien est représenté par un écart type .

L’objectif de ce projet est d’étudier et de simuler la loi normale centrée réduite c’est à dire la loi normale avec les paramètres et .Pour cela, on a étudié différents algorithmes fondés sur le théorème central limite, sur la méthode de Box-Müller, sur la méthode polaire, sur la méthode du rejet ou enfin sur une méthode de composition.

Puis, on a implanté ces algorithmes sous Matlab afin de déterminer une loi expérimentale.
Enfin, on a comparé la conformité des lois expérimentales trouvées avec la loi théorique enutilisant le test du khi deux et ainsi déterminer la performance des algorithmes.

I. La loi normale.

1) La loi normale réduite centrée.

Définition :
On dit qu’une variable aléatoire à valeurs dans est dite normale réduite centrée si elle est absolument continue et admet pour densité :



La loi de densité est appelé normale réduite centrée et est notée .

Propriétés :

i.et
ii. est une fonction paire et admet une maximum en x=0, qui vaut .Le graphe de a l’allure d’une courbe en cloche :



iii. Sa fonction de répartition est et a pour allure :


2) La loi normale générale.

Définition :
On dit qu’une variable aléatoire à valeurs dans est dite normale si elle est absolument continue et admet pour densité :



La loi de densitéest appelé normale et est notée ( ou parfois ).


Propriétés :

i. et .
ii. Si suit la loi alors suit la loi .
iii. est symétrique par rapport à et admet un maximum en qui vaut . Son graphe a l’allure d’une courbe en cloche centrée en et plus ou moins haute selon .

3) Le théorème central limite

Théorème :
Si sont n variables aléatoires indépendantes ayantrespectivement comme moyenne et comme variance et soit la combinaison linéaire alors :
et



A mesure que n tend vers l’infini, approche la loi normale centrée réduite.

Un cas particulier est celui où les variables aléatoires suivent la même loi de probabilité et dont la moyenne et existent et sont finies.
Soit .
Alors, pour , où

II. Simulation utilisant lethéorème central limite.

1) Principe général.

Le principe de cette algorithme repose exactement sur le théorème central limite dans le cas particulier où les variables aléatoires suivent la même loi de probabilité : le loi uniforme sur .

2) Algorithme

Simulation utilisant le théorème central limite.

1 : On simule n variables aléatoires ( ) indépendantes uniformément réparties sur .2 : On pose , suit une loi normale réduite centrée.

Preuve :
Pour tout , suit la loi uniforme sur .
ainsi E[ ] et et
Donc, d’après le théorème central limite, on en déduit que, pour n grand,



Sur le plan pratique, on aimerait bien connaître la grandeur de . On ne peut pas répondre exactement à cette question, toutefois quelques règles pratiques existent etdépendent de la précision désiré. En pratique, on utilise pour avoir une bonne simulation.
Ainsi :

3) Résultat de la simulation



Résultats obtenus avec 20000 échantillons et 12 lois uniformes.

III. Simulation de la loi normale centrée réduite par la transformation de Box Muller.

1) Principe général.

Proposition 1 :

Si et indépendantes tels que et , alors la loi ducouple coordonnées polaires de est tel que :
R suit la loi de densité
suit la loi uniforme sur
et sont indépendantes.

Preuve :

Soit et deux variables aléatoires de loi normale réduite centrée, indépendantes entre elles c’est à dire de moyenne 0 et de variance 1 que l’on note : et .

La densité de probabilité de ( respectivement ) est :
(respectivement )...
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