Solide de platon

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Solide de Platon
En géométrie, un solide de Platon est un polyèdre régulier convexe. Ce sont les analogues tridimensionnels des polygones réguliers convexes. Il y a précisément cinq figures de cette sorte (montrées ci-dessous). Elles sont uniques dans le fait que les bords, les arêtes et les angles sont tous congrus.
Les cinq polyèdres réguliers convexes (solides de Platon) |
Tétraèdre |Hexaèdre
ou Cube | Octaèdre | Dodécaèdre | Icosaèdre |
| | | | |
Le nom de chaque solide est dérivé du nombre des faces le composant : respectivement 4, 6, 8, 12 et 20. [1]
En raison de leur esthétisme et de leur symétrie, les solides de Platon ont été un sujet d'étude favori des géomètres depuis des milliers d'années. Ils ont été nommés en l'honneur du philosophe grec Platon qui fit lathéorie énonçant que les Éléments physiques (les quatre éléments) ont été construits à partir des solides réguliers.
Sommaire[masquer] * 1 Histoire * 2 Propriétés combinatoires * 3 Classification * 3.1 Démonstration géométrique * 3.2 Démonstration topologique * 4 Propriétés géométriques * 4.1 Angles * 4.2 Rayons, aires et volumes * 5 Symétrie * 5.1Polyèdre dual * 5.2 Groupes de symétrie * 6 En nature et en technologie * 7 Polyèdres reliés et polytopes * 7.1 Polyèdres uniformes * 7.2 Pavages * 7.3 Dimensions plus élevées * 8 Notes et références * 9 Voir aussi * 9.1 Articles connexes * 9.2 Bibliographie * 9.2.1 Sources * 9.2.2 Études * 9.3 Liens externes |
Histoire [modifier]Les peuples néolithiques d'Écosse ont construit des modèles en pierre des cinq solides au moins 1 000 ans avant Platon (Atiyah et Sutcliffe 2003). Ces modèles sont gardés au Ashmolean Museum à Oxford.
Dans l'histoire des mathématiques de la Grèce antique, on peut tracer la chronologie suivante. Les pythagoriciens ont eu une connaissance empirique de trois solides : le tétraèdre (la pyramide),l'hexaèdre (le cube), le dodécaèdre (douze faces). Qui exactement connaissait ? Selon Proclos, Pythagore lui-même (vers 530 av. J.-C.). Mais ce peut être son disciple Hippase de Métaponte, ou, plus vraisemblablement, Archytas de Tarente (vers 360 av. J.-C.). Peut-être Hippase a construit, le premier, le dodécaèdre. Il n'est pas fait mention de la pyramide avant Démocrite (fragment 155), actif vers430 av. J.-C. Archytas aurait le premier construit le cube, pour résoudre le problème de la duplication du carré. Le premier, Platon mentionne le dodécaèdre, dans le Phédon (110b), qui date d'env. 383 av. J.-C. Le mathématicien Théétète d'Athènes (mort en 395 ou 360 av. J.-C.) a découvert les deux autres solides : l'octaèdre et l'icosaèdre ; surtout, il les a construits, le premier, tous lescinq.[2] Platon a philosophé là-dessus.
Les solides de Platon joue un rôle premier dans la philosophie de Platon, à partir duquel ils ont été nommés. Platon, dans le dialogue Timée (env. 358 av. J.-C.), associait chacun des quatre Éléments physiques (la Terre, l'Air, l'Eau et le Feu) avec un solide régulier. La Terre était associée avec le cube (Timée, 55d), l'Air avec l'octaèdre, l'Eau avec l'icosaèdreet le Feu avec le tétraèdre. Il existait une justification pour ces associations : la chaleur du Feu semble pointue et comme un poignard (comme un peu le tétraèdre). L'Air est constitué de l'octaèdre ; ses composants minuscules sont si doux qu'on peut à peine les sentir. L'Eau, l'icosaèdre, s'échappe de la main lorsqu'on la saisit comme si elle était constituée de petites boules minuscules. Parcontraste, un solide fortement sphérique, l'hexaèdre (cube) représente la Terre. Ces petits solides font de la poussière lorsqu'ils sont émiettés et se cassent lorsqu'on s'en saisit, une grande différence avec l'écoulement doux de l'eau. Pour le cinquième solide de Platon, le dodécaèdre, Platon remarque obscurément, "...le dieu utilisé pour arranger les constellations sur tout le ciel ". Platon...
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