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Problèmes de Mathématiques

MPSI
Erwan Biland
Lycée Stanislas, classe de MPSI 1, 2009/2010

Ce recueil réunit une partie des problèmes posés aux élèves de PCSI 1 puis MPSI 1, en temps libre ou en temps limité, depuis 2005. J’y puiserai les devoirs que vous aurez à traiter cette année en temps libre (par groupes de deux). C’est aussi un outil mis à votre disposition pour votre travailpersonnel, en particulier lors de la préparation des devoirs surveillés. Malgré les nombreuses correction déjà effectuées, il subsiste certainement des erreurs d’énoncé ou d’orthographe... Je vous remercie par avance de me les signaler au fur et à mesure de leur découverte. J’ai fait apparaître en italique, dans la table des matière ainsi que dans l’en-tête de chaque problème, les parties du cours qui ysont abordées. J’ai aussi essayé, autant que possible, d’apprécier la difficulté de chaque problème en lui affectant un nombre d’étoiles compris entre zéro (très facile) et quatre (très difficile). Attention, dans un problème coté à trois étoiles (difficile), s’il est très progressif, les premières questions peuvent être, malgré tout, relativement faciles.

N

Bon courage !

Erwan Biland -Problèmes MPSI 1

1

2

Erwan Biland - Problèmes MPSI 1

Table des matières
Techniques de calculs, nombres complexes
1 2 3 4 5 6 Sommes de puissances de n entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Récurrence, résolution de systèmes, polynômes

7 8 9 10 12 13

Calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suites numériques,fonctions trigonométriques

Ceci n’est pas le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Techniques de calcul

Calcul de cos

Trigonométrie

π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Minimum d’une somme de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrices, déterminant, nombres complexes, géométrieCocyclicité dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nombres complexes, géométrie plane

Fonctions usuelles
7 8 9 10 Autour d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 15 16 17
Fonctions usuelles, suites numériques

Etude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctionstrigonométriques

Fonctions polynomiales de Tchebitchev
Fonctions usuelles, équations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Une transformation sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions usuelles

Ensembles, applications, structures
11 12 13 14 15 16 Etude d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ensembles et applications

18 19 20 21 22 23

Fonctions caractéristiques de parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ensembles, applications

Borne supérieure dans Pf (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ensembles, relations d’ordre

Etude de deux groupes isomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ensembles et fonctionsProduit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Groupes

L’équation diophantienne a2 − 2b2 = ±1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Groupes

Table des matières

3

Equations différentielles, équations fonctionnelles
17 18 19 20 Une équation différentielle linéaire d’ordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equationsdifférentielles

24 25 26 27

Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . .
Equations différentielles, courbes paramétrées

Une équation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonctions de R dans R, équations différentielles

Un problème de raccordement de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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