Lois de probabilité usuelles

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Variables aléatoires
Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire muni de la probabilité P .

Définition 1.1 (Variable aléatoire) Une variable aléatoire définie sur Ω associe à chaque issue, une valeur numérique. Les variables aléatoires que nous étudierons sont des applications (des fonctions) de Ω dans R. Par exemple, au jeu de pile ou face, on peut décider qu’obtenir pile rapporte 1 e, alors qu’obtenir face fait perdre 1 e. On définit alors la variable aléatoire X par : X(pile) = 1 et X(face) = −1, qui donne le gain en euros en fonction du résultat de l’expérience aléatoire. Définitions et notations 1.2 ({X x}, Fonction de répartition) Soit X une variable aléatoire définie sur Ω. L’ensemble des éléments de Ω dont l’image par X est inférieure ou égale au nombre réel x se note : {X x}, et cet ensemble est un événement. La probabilité de cet événement se note : P (X x). La fonction de répartition de la variable aléatoire X est la fonction FX (parfois notée simplement : F ) définie sur R par : FX (x) = P (X x).

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Variables aléatoires discrètes

Définition 2.1 (Variable aléatoire discrète) Soit X : Ω → R une variable aléatoire. On dit que X est une variable aléatoire discrète s’il n’y a pas plus d’images par X que d’éléments dans N. Notations 2.2 ({X = xi }, P (X = xi )) Soit X une variable aléatoire discrète. Soit {xi ∈ R | i ∈ I}, avec I ⊂ N, l’ensemble des images par X des éléments de Ω. Pour tout i dans I, l’ensemble des antécédents de xi par X : {ω ∈ Ω|X(ω) = xi } est l’événement noté : {X = xi }. La probabilité de l’événement {X = xi } se note : P (X = xi ). Définition 2.3 (Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète) Soit X une variable aléatoire discrète. Soit {xi ∈ R | i ∈ I}, avec I ⊂ N, l’ensemble des images par X des éléments de Ω. La loi de probabilité de X est l’ensemble des couples : (x i , P (X = xi )) pour i ∈ I. Définition et notation 2.4 (Espérance) Soit X une variable aléatoire discrète prenant les